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路径积分法的推广及其在非线性随机动力学系统研究中的应用

谢文贤  
【摘要】:本文推广了基于Gauss-Legendre公式的路径积分法,将其应用于几类典型非线性随机动力学系统的分析。通过对响应的平稳或稳态概率密度的计算,验证了该法的有效性;借助瞬态概率密度演化、时间上平均的概率密度来分析非线性随机动力学系统的分岔问题、随机跳跃现象以及刻画混沌响应的特征。 首先,本文综述了目前各种常用的Fokker-Planck-Kolmogorov(FPK)方程数值解法的研究概况;详细地论述了求解FPK方程的路径积分法在研究非线性随机动力学系统中的重要作用和意义;简述路径积分法的原理以及基于Gauss-Legendre公式的路径积分法;由此导出计算时间上平均的概率密度的方法。 其次,将基于Gauss-Legendre公式的路径积分法推广到随机参激与外激联合作用的非线性动力学系统。将所得路径积分解与其精确解或Monte Carlo随机模拟结果相比较,充分验证了在这种情况下路径积分法的准确性,并成功地捕捉到该随机系统的一维P-分岔。 随后,利用导出的基于Gauss-Legendre公式的路径积分法求解时间上平均的概率密度,研究了随机激励与谐和激励共同作用的Duffing-Rayleigh振子。通过与Monte Carlo随机模拟结果相比较,说明了求解时间上平均的概率密度的路径积分法的有效性,实现了该系统的双火山口形概率密度的计算;分析了该系统在三种情况下随机跳跃现象存在性与概率密度峰的个数之间的关系。 最后,本文还成功地将基于Gauss-Legendre公式的路径积分法用于非线性动力学系统混沌响应的研究。研究表明,对于确定性的Mathieu-Duffing振子,如果在导致混沌运动的参数条件下引入了高斯白噪声激励,则该随机系统响应的概率密度是呈现多峰结构的(尤其是在噪声强度较小时);同时,一定噪声强度下其随机系统概率密度的状态演化可刻画该混沌吸引子的结构特征。


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