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几类约束矩阵方程问题的研究

于蕾  
【摘要】:约束矩阵方程问题广泛应用于自动控制、振动理论、系统参数识别以及非线性规划等领域,本文分别从递推算法以及利用奇异值分解、标准相关分解和广义奇异值分解的直接算法两个不同角度系统地研究几类约束矩阵方程的求解问题: 问题Ⅰ 给定X,B∈R~(n×m)及某类矩阵集合S(?)R~(n×m),求A∈S使得AX=B. 问题Ⅱ 给定X,B∈R~(n×m)及某类矩阵集合S(?)R~(n×m),求A∈S使得‖AX-B‖=min 问题Ⅲ 给定A∈R~(n×m),B∈R~(n×m)及某类矩阵集合S(?)R~(n×m),求X∈S使得‖A~TXA-B‖=min 问题Ⅳ 给定(?)∈R~(n×m),求(?)∈S_E使得(?),其中S_E表示问题Ⅰ、Ⅱ或Ⅲ的解集合,‖·‖表示矩阵的Frobenius范数。 本文的主要结果如下: 1.研究了矩阵方程AX+XB=F对称解的递推算法,该算法不仅能够用于对称解存在性的判断问题,而且当对称解存在时,也能够用于对称解的计算问题,选取特殊的初始矩阵时,该算法还能够得到矩阵方程的极小范数对称解;随后讨论了矩阵方程AXB=C反对称解的递推算法。 2.当S是对称正交反对称矩阵集合时,给出了问题Ⅰ有解的充要条件、解的一般表达式以及相应问题Ⅳ的解;对于S={A∈SAR_P~n|‖AZ-Y‖=min},给出了问题Ⅱ的解以及相应问题Ⅳ解的表达式;利用矩阵对的标准相关分解还给出了问题Ⅲ的解。 3.对于s={A∈AAR_P~n|AZ=Y,Y_i~TZ_i=-Z_i~TY_i,Y_iZ_i~+Z_i=Y_i,i=1,2},给出了问题Ⅱ解的一般表达式,相应问题Ⅳ也得到了解决;当S是反对称正交反对称矩阵集合时,利用矩阵对的标准相关分解给出了问题Ⅲ解的一般表达式。 4.当S是反对称正交对称矩阵集合时,给出了问题Ⅰ有解的充要条件、解的一般表达式以及相应问题Ⅳ的解;利用矩阵对的广义奇异值分解,给出了矩阵方程A~TXA=B反对称正交对称解存在的充要条件、解的一般表达式以及相应问题Ⅳ的解;对于S={A∈ASR_P~n|‖AZ—Y‖=min},给出了问题Ⅱ的解以及相应问题Ⅳ解的表达式。


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