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楔形基配点法研究

王志刚  
【摘要】: 在无网格方法中,基于径向基无网格求解偏微分方程的研究已经有了一系列的成果,但是关于楔形基函数的研究,无论在理论方面还是在实际应用方面都非常少。无网格配点法求解偏微分方程倍受青睐是由于其高效率和灵活性等优点,而径向基函数又被普遍应用于描述偏微分方程的数值解。同时,考虑到楔形基函数有诸多优点,比如与神经网络结合能够快速收敛、具有很好的逼近效果、以及广泛应用于工程问题中,所以我们通过楔形基函数插值的理论,构造了满足插值要求的近似函数,并通过配点法来离散控制方程,提出了一种新的基于楔形基插值函数的配点型无网格法。 本文对楔形基配点法的理论和应用进行了一些有益的探索,主要内容包括以下几个方面: 首先,以椭圆型方程为模型,本文构造了求解椭圆型方程的楔形基配点法,并给出了该算法的解的存在唯一性。通过数值算例验证了该算法的可行性,并且讨论了影响数值精度的因素。该方法是一个真正的无网格法,它既不需要积分计算,也不需要划分网格。通过与径向基配点法(无网格)、有限元和有限差分法的计算时间和计算误差相比,更说明了本文算法的优势。 其次,以抛物型方程为模型,构造了楔形基配点法。本文给出了无网格法的显格式和隐格式,证明了显格式解的存在唯一性和隐格式强条件解的存在唯一性,并应用于求解一维、二维抛物型方程数值解。 最后,我们讨论了一类特殊的方程—对流占优扩散方程。本文直接应用楔形基配点法的隐格式,能够消除由于对流占优引起数值震荡现象,并且给出了弱条件解的存在唯一性。通过数值算例,我们验证了隐格式方法的可行性;与特征有限元的比较,说明了本文方法的优越性,并达到满意的结果。 特别是,考虑到径向基函数的重要性,本文引入了一种新的楔形基函数,并给出了该楔形基函数的正定性证明;将新的楔形基函数与配点法结合应用于求解椭圆型方程和对流扩散方程。通过数值算例说明:新的楔形基函数是可行的,并且得到满意的结果,所以它将是楔形基无网格法的又一有意义的发展。


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