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互补问题的算法研究

唐嘉  
【摘要】:互补问题是数学规划研究中较为活跃的分支.由于其应用背景的广泛性和与其他分支的交叉性,近年来受到越来越多的研究者的关注并取得了丰硕的成果.对互补问题的研究可以分为理论和算法两方面.前者主要研究问题的解的存在性、唯一性、稳定性以及灵敏度分析等性质,后者着重研究如何构造有效的算法. 本文主要研究互补问题的数值算法.主要内容概括总结如下: 1.基于Chen-Harler-Kanzow-Smale (CHKS)光滑函数,提出求解P0-函数混合互补问题的一种正则化的光滑方法.即:通过求得适定问题的一组解序列来代替求解原来不适定的问题,并且使得这组解序列收敛于原来问题的解.该算法中的正则参数和光滑参数都是彼此独立的变量,并且可以通过线性方程组的迭代很快得到. 2.鉴于光滑函数在解决互补问题的光滑类算法中的重要性,根据混合互补问题的定义域本身的结构,构造了两种新的混合互补函数函数.它们具有一些很好的性质,即:保证了与之相关的光滑路径的存在性和连续性以及光滑类算法所产生的迭代序列的有界性.在此基础上,给出了求解P0-函数混合互补问题的三种光滑算法:预测校正光滑牛顿算法、一步光滑牛顿算法和Broyden-like拟牛顿算法. 3.针对一般的(即:不要求是P0函数)混合互补问题提出了一种修正的光滑牛顿算法.该算法结合了梯度步.这使得该算法可以去掉F至少是一个P0-函数的假设.在适当条件下,该算法全局收敛性和局部超线性收敛性也得到了证明. 4.构造了一种新的对称锥上的互补函数,并研究了这个函数的强制性和强半光滑性以及其雅可比矩阵的强半光滑性.这些良好的性质为利用该SCCP互补函数设计相关算法求解对称锥互补问题SCCP打下了一定的基础.


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