几类对称锥互补问题的算法研究

【摘要】：对称锥互补问题(SCCP)是一类重要的均衡优化问题,具有内容新、理论丰富和应用背景广泛等特点.他为标准非线性互补问题(NCP)、二阶锥互补问题(SOCCP)、半定互补问题(SDCP)提供了统一框架,与组合优化、鲁棒优化、不确定优化、博弈与均衡理论等分支有密切的联系. 本论文主要利用欧几里德若当代数技术,建立了求解几类SCCP的光滑牛顿法,包括求解单调SCCP、其特殊情形单调SOCCP和非单调SCCP.另外,讨论了SCCP价值函数的一些性质.光滑牛顿法求解SCCP,首先利用互补函数,如常见的最小值函数或者FB互补函数,将SCCP转化为一个非光滑非线性方程组.然后在互补函数中引入一个光滑因子构造出一个光滑函数,利用此光滑化互补函数来逼近以前的互补函数.通过求解光滑方程组来达到求解原非光滑方程组的目的,其中光滑因子作为光滑方程组中的一个变量.最后利用牛顿法求解所转化的光滑方程组.本论文取得的主要结果可概括为如下: 对于单调SCCP,基于对称扰动Chen-Harker-Kanzow-Smale(CHKS)光滑函数提出一个预估校正光滑牛顿法.证明算法所生成的点列在解集仅为非空的条件下有界,因而得到算法的全局收敛性.在适当的假设下,证明了算法的局部超线性收敛性.另外将一类二阶锥规划的新光滑函数推广到SCCP中,研究了该类新光滑函数的性质,并基于此光滑函数建立求解单调SCCP的一步光滑牛顿法,分析了算法的适定性以及全局和局部超线性收敛性. 对于单调SOCCP,基于一类含参数互补函数的光滑函数,提出了求解SOCCP的一步光滑牛顿法.分析了算法适定性和收敛性,并且通过一个数值矩阵例子,说明光滑牛顿法在求解非单调的P_0-SOCCP时,牛顿方程可能会无解.最后,通过数值试验分析了参数对数值效果的影响. 对于非单调具有笛卡尔P性质的对称锥线性互补问题(SCLCP),基于CHKS光滑函数提出一个求解该类非单调SCLCP的光滑牛顿法,分析了在函数P满足Cartesain P_0性质时牛顿方程的可解性,证明了迭代点的邻域在函数P满足Cartesain性质时的有界性.从而得到算法的适定性和收敛性. 对于非单调具有笛卡尔P_0性质的SCLCP,基于CHKS光滑函数提出一个求解该类非单调SCLCP的正则光滑牛顿法,分析了算法适定性和收敛性.另外,基于对称扰动Fischer-Burmeister(FB)光滑函数提出了一个光滑牛顿法,当函数P满足Cartesain P_0性质时,证明了牛顿方程的可解性和目标函数的强制性.从而,得到算法所生成点列的有界性.最后分析了算法的适定性和收敛性. 基于欧几里德若当代数技术,提出了SCCP的一类新价值函数,在适当条件下讨论了该类价值函数水平集的有界性,并且基于该类价值函数建立了SCCP解的一个全局误差界.这两个性质可以提供算法停止的准则和分析算法收敛性.另外,对于一类已有价值函数,本文提出了比已有条件更弱的条件,在该条件下这些价值函数的水平集有界,且基于这些价值函数建立了SCCP解得全局误差界.