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布尔函数的正规性研究

王维琼  
【摘要】:为满足Shannon提出的混淆及扩散思想,一个好的密码函数必须同时满足多个密码学指标,正规性就是其中之一。本文围绕正规性这一复杂度指标进行展开,取得了以下主要结果: (1). Plateaued函数能达到多个密码学性质的折中,是一类性质良好的密码函数。本文基于Walsh谱及函数分解理论,讨论了Plateaued函数在高维空间上的分解,结果发现这类函数在分解后仍具有较高的非线性度。将分解理论进行推广便是正规性的概念。基于Walsh谱刻画了Plateaued函数的正规性,得到了判定这类函数正规性的简化算法,并指出了Plateaued函数与其分解函数的正规性之间的关系。 (2).介绍了Plateaued函数的对偶函数并对其性质进行分析,发现Plateaued函数与其对偶函数在多个密码学性质上存在对称关系,特别地给出了两者在正规性上的对应关系。 (3).分析了已知Plateaued函数类的正规性,并给出了几种构造非正规Plateaued函数的方法。 (4).基于稳定性理论,提出了扩展正规性的概念。讨论了扩展正规性与正规性,以及与扩展代数免疫之间的关系。从代数正规型的角度分析了正规性和代数免疫阶,并给出了具体计算方法。 (5).分析了正规性同其他密码学指标如非线性度、线性结构、代数免疫阶之间的关系,进而通过计算证明了平衡的、具有较高代数次数的非正规布尔函数的存在性。 (6). Bent函数具有良好的非线性性和扩散性,且已知构造法构造的Bent函数几乎都是正规的。基于此结论,希望以正规的Bent函数为基础,构造满足多个密码学准则的布尔函数。研究发现,可通过对正规的Bent函数进行修改、分解和级联得到满足平衡性、高非线性性、SAC等多个密码学指标的布尔函数。


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