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非线性算子不动点及相关问题解的迭代逼近

贺慧敏  
【摘要】:非线性算子理论是非线性科学的理论基础和基本工具,已经成为现代数学的一个重要分支,并在其他分支中发挥着重要作用.其中,非线性算子不动点理论是非线性泛函分析的重要组成部分,尤其是非线性算子方程(组)解的迭代逼近问题一直是非线性泛函分析领域活跃的研究课题. 非线性算子的均衡问题、变分不等式以及零点问题与非线性算子不动点密切相关,相互转化.根据它们之间的转化关系,可以构造新的非线性算子,通过迭代逼近其不动点来求解均衡问题或变分不等式,得到有关强(弱)收敛定理.非线性算子理论的研究主要通过推广空间,改进迭代算法以及减少对系数的限制或者算子的约束,得到更有意义和使用范围更广的结果. 本文主要研究了非线性算子的不动点问题、均衡问题、变分不等式问题、零点问题以及多重集分裂可行性问题等,分别采用不同的方法对其问题的解进行迭代逼近,得到了若干强(弱)收敛定理,并给出数值例子验证理论.同时,本文还讨论了几个经典迭代算法的收敛速度,给出比较准则,得到其理论结果,并给出数值例子加以验证.本文所得结果改进、推广和统一了许多作者的最新结果.全文分为六章: 第一章主要陈述了Hilbert空间和Banach空间中非线性算子理论的研究背景与现状,并简述了本文的主要工作与结构安排. 第二章主要构造了三种不同的迭代算法,在满足一定的条件下,分别逼近非扩张算子不动点、变分不等式和单个均衡问题解的公共元,无限族非扩张算子公共不动点和有限个均衡问题解的公共元,无限族非扩张算子公共不动点、变分不等式的解和有限个均衡问题解的公共元.并且得到若干强收敛定理. 第三章给出了H-增生算子(H-单调算子)与极大单调算子(H-增生算子)之间的关系,分别在Hilbert空间和Banach空间研究了-单调算子, H-增生算子的零点的迭代逼近问题,运用经典的迭代算法,得到了若干强弱收敛定理. 第四章主要研究了Banach空间框架下集值非扩张算子的不动点的迭代逼近问题,给出两个隐式迭代算法,在一定条件下,得到若干强弱收敛定理.另外针对文献D.R.Sahu [47]和B.Panyanak [81]的一些问题,此章给出注解. 第五章在Banach空间框架下构造了三个一般的迭代算法,证明了算法产生的序列弱收敛到有限个算子{T_1, T_2,..., T_N}的公共不动点,并且在Hilbert空间框架下应用这些结果,求解了[123]介绍的多重集分裂可行性问题. 第六章讨论了几个经典迭代算法的收敛速度的比较.在Hilbert空间框架下,给出收敛速度比较准则,对Lipschitz连续且强单调算子的Mann, Ishikawa和Noor迭代算法的收敛速度进行了比较,得到了这些经典迭代算法的收敛速度比较的理论结果,并且给出数值例子加以说明.


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