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有限元方法和正则化策略在光学分子影像中的应用

李维  
【摘要】:光学分子影像是一种新兴的在体无创检测技术,可以在细胞分子水平上实现生物体生理及病理活动的在体动态检测。相比于传统的成像模态,光学分子影像技术由于具有无辐射、高灵敏度、高特异性、低成本等特点,目前已广泛应用于早期疾病诊断、肿瘤检测及药物研发等领域。三维光学分子影像技术由于具备对靶标进行定位和定量分析的能力,已成为光学分子影像技术研究的热点问题之一。但是,由于光子在生物体内传输过程的复杂性,以及光学测量信息的不完整性,导致三维光学重建是一个严重的病态逆问题。如何建立准确适当的前向光传输模型并获取准确的重建结果是三维光学分子影像技术的核心问题。本文三维光学重建问题展开研究,主要研究工作如下:针对扩散近似模型及其有限元求解方法存在的局限性,采用扩展有限元方法求解简化球谐波近似(Simplified spherical harmonics equations, SPN)方程,避免了内部网格的生成过程,有效的提高了计算的效率。在此方法中,通过符号距离函数来反映靠近边界的四面体节点与边界的距离关系,利用符号距离函数构成扩展有限元的富集基函数;将富集函数加入到标准有限元的基函数当中,因而被边界切割的四面体被“富集”,生物组织的内部边界信息也被富集函数所表达;最后采用高斯积分计算SPN方程的弱形式,建立系统方程。由于在整个过程中有效的避免了内部网格生成过程,此方法可有效提高计算效率。仿体和数字鼠实验结果验证了扩展有限元方法的高效性。针对自适应有限元计算中误差估计不足的问题,提出了基于双网格自适应有限元的生物发光断层成像(Bioluminescence Tomography, BLT)算法。基于扩散近似模型的BLT算法多采用有限元方法进行求解,其中,有限元网格的精细程度和插值基函数的阶次决定了有限元方法的精度,但过细的网格和过高阶次插值会增加系统方程未知量的个数,反而加重BLT重建的病态性。自适应求解方法在误差较大的区域增加网格或基函数阶次,在误差较低的区域使用粗网格,能够在保证计算精度的同时提高计算效率。误差估计是自适应求解方法的核心,本文综合使用了最大值选取方法和Kelly的误差估计方法作为指示器,有效的避免了单一误差估计方法的不足;同时,网格的细分也根据指示器在两个网格上交替执行,有效的避免了在同一网格上的过度细分。网格细分后,再结合智能的光源可行区减小策略,最终获取较准确和稳定的结果。本文通过数值实验和真实小鼠实验验证了该算法的优越性。针对传统扩散近似模型与Tikhonov正则化方法的局限性,提出了一种基于简化球谐波近似与Laplace正则化的荧光分子断层成像(Fluorescence Molecular Tomography, FMT)方法。根据SPN近似模型,推导得出了表面荧光数据与内部未知荧光光源的线性关系,同时在图像重建过程中引入结构先验信息,有效的降低了问题的不适定性,最后利用最小二乘QR分解(Least Square QR decomposition, LSQR)方法求解。相比于传统的Tikhonov正则化方法,该方法能够充分利用结构先验信息,得到更加准确可靠的定量定位重建结果,提高了图像的分辨率。数值实验结果证明了该方法的鲁棒性和准确性。BLT重建方法多采用基于易的正则化方法,但该类方法的重建结果分布范围较大,能量重建平滑,不适应BLT重建目标稀疏的特点。本文基于压缩感知理论,利用生物发光光源的稀疏分布特性,研究了基于l1正则化的重建方法。论文研究了五种l1正则化方法,分别为同伦方法、正交匹配追踪方法、初始对偶内点法、迭代收缩阈值法和截断牛顿内点法。在基于数字鼠的仿真实验中,测试了五种方法对不同水平程度的噪声和正则化参数的鲁棒性。结果表明,同伦方法和迭代收缩阈值方法的综合性能要高于其他三种l1正则化方法。


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