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自适应共轭梯度法的研究

董晓亮  
【摘要】:无约束优化问题广泛应用于经济计划、工程设计、生产管理、国防与航空航天等重要领域,因此构造大规模优化问题的计算方法,研究这些方法的理论性质及其实际数值表现具有重要的理论意义和实际应用价值.存储量小和迭代简单的特点使共轭梯度法在求解大规模问题的算法中脱颖而出.在过去的20年中,充分下降条件和共轭性使得共轭梯度法在优化领域更为活跃.本文在总结己有非线性共轭梯度算法的基础上,从实用角度出发,设计出若干能满足上述两个条件的白适应共轭梯度法.主要具体工作如下:1.我们引入了两类白适应的共轭梯度法,该法在每步迭代可满足充分下降条件.与现有方法不同的是,本文提出新的共轭条件是动态调整的,它可视作HS共轭性和DL共轭性的继承与发展.在适当情况下,可证明该法对一般函数全局收敛.2.我们对六类基本共轭梯度法进行了修正,其中的搜索方向满足不依赖于任何搜索条件的充分下降条件.此外,我们提出了一个一般形式的共轭梯度法,对应的搜索方向总是充分下降方向.该方法无须Yuan提出的”步长要有正的下界”的假设条件,可以建立算法的全局收敛性.3.我们构造了一个非一致凸的二维函数,它可以说明这样一种可能性,即无论TTCG方法在极小化我们提出的函数时是否收敛,TTCG方法的收敛性分析中关于‘sTKyKτ(τ0是常数)”这一充分条件都不成立.主要原因在于在数量上,sTkyk是恢||2的高阶无穷小.此外,我们提出了一类具有一般形式的三项共轭梯度法,它的搜索方向同时满足白适应共轭条件和充分下降条件.4.原TTDES方法中的某些结果因为参数选取不当需要修正,我们在迭代矩阵条件数最小的意义下找至TTDES方法的最优参数.具体地,既然该迭代矩阵既非对称也不正则,在讨论条件数时,一种谨慎而合理的策略是采取奇异值分析而非特征值分析.5.我们通过不同搜索方向之间的仿射组合而得到新的Hestenes-Stiefel类型不Polak-Ribiere-Polyak类型的三项共轭梯度法.在迭代过程中,搜索方向满足充分下降条件,并能接近拟牛顿方向或满足共轭条件.算法在Wolfe搜索下收敛.6.数值结果显示,本文提出的上述方法适于求解大型优化问题,从而是有效的.白适应的算法机制不仅有益于共轭梯度法的理论与计算,随着时间的推移,它将展示出更有意义的重要性.


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