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变尺度导数及其在集值优化理论中的应用

盛宝怀  
【摘要】: 集值(函数)优化的研究是含参量优化、控制论、最佳逼近、非光滑分析、 不动点理论、变分问题、数理经济学等学科发展的必然要求,是目前多目标优化 领域所关注的热点问题。对这一问题的研究涉及线性与非线性分析、拓扑向量格、 偏序理论、抽象空间中的几何理论等学科,有重要的学术价值和相当的难度。从数 学上讲,这一问题可归结为(向量)集值函数的极值问题。刻画极值点特征的最优 性条件是该领域的核心内容,是建立集值优化方法必不可少的理论基础,也是集 值优化理论的难点问题之一。但是,这一问题的研究由于没有较好的解析工具而使 得结构简单且与单值函数的最优性条件形式相统一的最优性条件(如Fritz John 及Kuhn-Tucker最优性条件)尚未建立。本文旨在推广Clarke、R.T.Rockafellar及 G.Bouligand等人所引入的Clarke切锥、Adjacent切锥及Contingent切锥的概 念,结合Fermat有关导数的思想,借助集值函数的上图及下图定义集值函数的变 尺度导数的概念,并用其建立了非凸集值优化在弱有效、Benson真有效及超有效 意义下有效元最优性的导数型及非导数型最优性条件及与这两种最优性条件相应 的Wolfe型、Mond-Weir型及改进的Lagrange乘子型对偶理论具体结果可归纳如 下: 1.引入了变尺度(1,α)-生成锥的概念,并定义了(1,α)-Clarke切锥、 (1,α)-Adjacent切锥及(1,α)-Contingent切锥,并举例说明这些切锥是存在的并 为已有的Clarke切锥、Adjacent切锥及Contingent切锥的真推广; 2.借助于(1,α)-Clarke切锥、(1,α)-Adjacent切锥及(1,α)-Contingent切 锥及集值函数的上图(或下图)建立了集值函数与这三种锥相适应的三种变尺度 切导数,即α-阶Clarke导数、α-阶Adjacent导数及α-阶Contingent导数的 概念。 3.对集值函数首次引入了伪凸及vex凸的概念并应用于集值优化最优性充分 性条件和对偶问题的讨论。 4.借助凸集分离定理建立了一种广义的择一性定理,并在集值优化最优性必要 条件的讨论中得到应用。 5.建立了非凸集值函数在弱有效、Benson真有效及超有效意义下有效元非导 数型最优性的必要及充分条件,这些条件加细和推广了已有的结果,并且在Benson 真有效及超有效的情况去掉了在目标空间中要求引人偏序锥的内部非空这一附加 条件: 6.建立了非凸集值函数在弱有效、Benson真有效及超有效意义下有效元导数 型最优性的必要及充分条件.所给出的Pritz JOhn及Kuhn-Tucker条件与已有的向 量单值函数的形式完全统一,因而完善了H.W.Corky及D.T.Luc等人的工作; 7.借助有效元的标量化结果给出了集值函数在弱有效、Benson真有效及超有 效意义下有效元的Wolfe型对偶,建立了弱对偶定理、正对偶定理及逆对偶定理; 8.给出了集值函数在弱有效、Benson真有效及超有效意义下有效元的 Mond爪eir型对偶,建立了弱对偶定理、正对偶定理及逆对偶定理; 9.建立了集值优化在弱有效、Benson真有效及超有效意义下一种改进的 Lagrange乘子型对偶,其与己有的Lagrange乘子对偶比较具有较好的对偶性质, 并建立了对偶的弱对偶定理、正对偶定理及逆对偶定理,改进了 Li Z.F.及 Rong W.D. 等人有关Lagrange乘子型对偶的有关结果; 10.建立了非凸集值函数在弱有效、Benson真有效及超有效意义下松弛型鞍 点有效元的非导数及导数型型最优性的必要及充分条件; 向量值函数和实值函数的最优性条件及对偶性均可作为集值函数的特款而给 出.


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