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集值变分包含的算法及其应用

石超峰  
【摘要】:变分不等式理论在工程、物理学、经济学等纯粹和应用科学领域均有广泛的应用,已成为应用数学的一个重要分支,其研究涉及线性与非线性分析、Banach空间的几何理论以及数值计算等学科,具有相当的难度。本文分别在R~n空间、Hilbert空间、Banach空间和度量空间框架下,研究了集值变分不等式(包含)的解的存在性、迭代算法、误差分析及其在最优控制和动力系统中的应用。具体内容如下: 1.简要介绍了集值变分不等式(包含)问题研究的进展情况。 2.提出了一个解(一般)线性和非线性单调变分不等式的新的预估-校正算法。该方法使用了一个非常有效的预估步长准则,每个步长的选取只需要计算一次投影,大大减少了计算量。在算子单调且Lipschitz连续的条件下,建立了该算法的全局收敛性定理。数值试验表明该算法比最新文献中出现的投影类方法有效。 3.利用算子扰动技巧建立了Hilbert空间中广义集值混合变分不等式与一类新的不动点问题的等价性。利用这个等价性提出和分析了一类解广义集值混合变分不等式和相关的优化问题的新算法。在Hilbert空间中,引入并研究了一类广义一般集值混合拟变分不等式,证明了广义一般集值混合拟变分不等式辅助问题的解的存在性,利用辅助原理技巧,提出和分析了一个预估-校正方法。对Hilbert空间中的集值变分包含,提出了一个新的临近点逼近算法,该算法的收敛性仅需算子是单调的即可。提出了Hilbert空间中广义集值拟变分包含的全局(局部)预解类误差界的概念,并给出了广义集值拟变分包含的全局预解类误差界,利用它可以分析各种方法的收敛性。 4.提出了一个一致光滑Banach空间中的集值拟变分不等式的新算法,改正并改进了Noor的结果。研究了一类更广泛的Banach空间中的广义集值变分包含,利用一些新的技巧,给出了光滑,一致光滑及q-一致光滑Banach空间中的广义集值变分包含的几个存在性定理。建立了一些带误差项的摄动单步和多步迭代算法,并证明了近似解序列强收敛于精确解.在K-一致光滑Banach空间的基础上,提出和研究了更广泛的局部和中点局部K-一致光滑Banach空间的—些重要性质,他们不仅具有重要的理论意义,而且在算子方程、不动点理论以及变分不等式及其相关的优化问题中都有重要应用。 5.给出了Frechet空间中的几个重要不等式,它们是Hilbert空间中的著名极化恒等式在Frechet空间中的情形:推广了Banach空间中的许多不等式,所得结果有广泛的应用。利用这些不等式,可容易地将许多最新结果从Banach空间推广到Frechet空间,特别是可以 将第4章的部分结果加以推广.在凸度量空间中,提出了一类集值变分包含,并利用一些 新的技巧提出和分析了其摄动迭于七算法 6.研究了H让比找空间中的变分不等式在最优书纬明中的应用.利用辅助原理技巧,建立 了求解带年龄结构和空间扩散的时变种群系统的最优边界控制的算法,并证明了由算法产 ‘!了内迭代序列的收敛性研究了B出陇‘h空间中的集值变分包含,利用预解方程技巧,提 出了氏扔朗h空间中的预解动力系统,研究了压坦改h空间的预解动力系统和压小解h空间 ,1,的集值变分包含的关系. 关键词:集值变分不等式集值变分包含算法珊吮d空间Banacb空间 度量空间


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