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非线性算子方程(组)的可解性及其应用

冯育强  
【摘要】:在理论和应用中产生的很多非线性方程,如非线性微分方程,非线性积分方程,非线性差分方程及泛函方程,形式上是不同类型的,但本质上可化为具有同一形式的算子方程。所以解决了一个算子方程解的存在性问题,也就解决了很多非线性方程解的存在性问题。 在算子方程解的存在性研究中产生了许多方法,如拓扑度方法、上下解方法、单调迭代法、变分方法等,获得了丰富的结果。这些方法和结果已成功的应用于各类非线性方程的求解。 本文主要利用半序方法研究了几类算子方程解的存在性。先考虑了一类算子方程的可解性,并将所获结果应用于一些微分方程、微分积分方程边值问题的求解,进而将这一研究推广到方程组的情形;由于集值算子在现代数学的广泛应用,本文还研讨了关于集值算子方程解的存在性;最后对于几类三阶常微分方程,通过将其化为适当函数空间中相应的算子方程,获得了解的存在性结论。具体内容如下: ·引入了算子序连续的概念,结合度量空间与赋范空间中半序的性质,分别在度量空间与赋范空间中证明了一类算子方程解的存在性。并构造迭代列,使之收敛于该算子方程之解。 ·在算子不满足连续性条件时,利用半序方法结合Zorn引理分别证明了在度量空间与赋范空间中算子方程解的存在性。 ·给出了在度量空间及赋范空间中算子方程多个解的存在性结论。 ·研究了算子方程组解的存在性。在算子满足某些单调性条件时,利用半序方法在度量空间与赋范空间中证明了几个解的存在性定理并构造迭代列,使之收敛于方程组之解。 ·将单调增算子不动点存在性研究推广到集值的情形,定义了几类集值增算子,并分别在度量空间与赋范空间中证明了集值增算子的不动点定理。 ·将压缩算子不动点存在性研究推广到集值的情形,证明了几个满足压缩性质的集值算子不动点定理。 iv西安电子科技大学博士学位论文:非线性算子方程‘组少的可解性及其应用 ·将ca7’坛雨不动点定理推广到集值的情形,给出了几个集值算子的car诚‘ 不动点定理. ·证明了一类三阶微分方程边值问题三个正解的存在性. ·证明了几个新的最大值原理,并利用这几个新的最大值原理证明了两 类三阶微分方程边值问题解与正解的存在性. 关键词非线性算子方程,半序,解,存在性,集值算子,不动点,三 阶常微分方程


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