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基于跳跃—扩散过程的投资组合与定价问题研究

刘宣会  
【摘要】:投资组合优化和未定权益定价一直是数理金融学研究的主要问题,大多数的结论都是建立在风险证券价格服从扩散过程这一基础之上,然而,在现实的金融市场上,当有重大信息出现时,会对风险证券价格产生冲击,使它们呈现一种不连续的跳跃。而采用跳跃-扩散过程去拟合风险证券价格变化规律能较好的体现上述情况,同时从理论角度出发,对风险证券价格最一般的假设为连续半鞅,而跳跃-扩散过程一般为不连续半鞅,可弥补理论上的不足。本文研究风险证券价格服从跳跃扩-散过程时,投资组合优化和未定权益定价的问题。 本论文研究主要包括投资组合优化和未定权益的定价与套期保值策略部分。我们将分七章来论述。 第一章介绍了与本文相关的内容,主要目的是给出本文的研究来源,与本文有关的投资组合优化与未益定价,套期保值的研究进展。 第二,三章研究跳跃-扩散模型中基于“安全第一准则”的最优投资组合策略,第四章研究跳跃-扩散模型证券投资组合选择的随机微分对策。第五章研究基于跳跃-扩散模型的不完全市场上一种未定权益的最优套期保值策略。第六章研究跳跃-扩散模型中一种亚式期权的定价与套期保值策略。论文的第七章研究了跳跃-扩散模型带有交易费的未定权益的套期保值定价。本文以投资组合优化与定价为主线,按不同问题展开研究。 本文所取得的研究成果可分为以下个方面: (1)介绍了与本文相关的内容,主要目的是给出本文的研究来源,与本文有关的投资组合优化与未定权益定价,套期保值的研究进展。 (2)对风险资产价格服从跳跃-扩散过程的金融市场,建立了最优投资组合选择的一个“安全第一”模型。首先,在完全信息的金融市场上(市场系数可观察)证明了最优投资组合策略的存在性,运用鞅方法给出了显式表示的最优投资组合策略,在部分信息的金融市场上,(风险资产价格的漂移不可观察)设风险资产价格的漂移项为某一It'o过程时,先运用随机滤波对风险资产的漂移项给出最佳估计,然后采用鞅方法与clark公式得到了显式表示的最优投资组合策略,最后,在风险资产价格服从扩散过程时,利用随机分析,获得了最 优投资组合策略.这样就在风险资产价格服从跳跃一扩散时,完全解决了基于 “安全第一准则”的投资组合选择向题.基于“安全第一准则”投资组合选择 以前多出现在单阶段与多阶段(离散时间)投资组合选择模型中,本章的研究 将其推广到连续时间的投资组合选择模型中,正好弥补这一研究的不足. (3)第三部分的工作为第二部分研究工作的深入和发展.在第二部分中, 我们主要建立了风险证券价格服从跳跃一扩散过程时,组合证券选择的安全 第一模型.经过一系列的嵌套技术将原问题最终化归为一个二次效用优化问 题.然后采用较方法而得到最优投资组合策略.然而在采用鞍方法时,我们对 效用函数。(x)=一。护+‘二(切。,R)做出一个假设:二‘击该条件为了保征效 用函数可劝具有反函数存在,当这一假设不满足时,怎样处理这间题? 第三部分,首先研究了状态服从跳跃·扩散过程时随机最优控制策略,处 理问题的方法不同于传统理论上随初最大值原理与随机动态规划,而采用随 机Lagrange方法给出了最优控制策略,而上述间题就为定理论的一个特殊情 况,这样就全面地解决了第二章的问题. (4)前面主要研究了在跳跃·扩散模型下,单个投资者证券投资组合选择问 题,然而实际的金融市场中会有许许多多个投资者,这样投资者之间会自觉的 进入一种竟争状态,那么,投资者应选择怎样的投资策略才能居于比较有利 的地位?本章的工作就给出对上述问题研究的一个尝试.我们运用随机微分 对策,以投资者财富之比为状态变量,在采用对数效用函数时,得到了投资者 各自的最优均衡投资策略. (5)主要研究了标的资产价格服从跳跃一扩散过程时,一种未定权益的套期 保值问题(实际为更复杂的效用优化问题.),当所研究的金融市场为完全市场 时,给出一种精确的套期保值策略,当所研究的金融市场为不完全市场时,建 立了一种度量风险的新的准则·基于随机对策的风险度量,这一准则的建立实 际是第四章研究思想方法的另一种拓广,首先,我们在上述准则下,找到了未 定权益的一种最优复制(逼近),然后运用Malliavin分析及推广的Clark公式而 得到最优的套期保值策略. 最后就具有随机波动方差的跳跃·扩散模型,我们采用随机对策的思想给 出了最优的套期保值策略. (6)在标的资产价格服从跳跃一’扩散过程时,研究了具有多个标的资产的一 种亚式期权的定价间题及套期保值.通过引入一种巧妙的变换将间题转化为 一种类似的欧式期权,然后运用M.ton对冲风险的方法,而得到具有多个标 的资产的亚式期权的定价,运用推广的Clark公式,而给出显式表示的套期保 值策略.最后,我们在具有随机波动方差的跳跃一扩散模型中,构造了最小秧 测度,给出了亚式期权风险最小套期保值定价. 最后,我们研究了标的资产服从分式Brow过an运动(价actional motinn)时一 种亚式期权定价与套期保值间题,在分式Brownian运动中当Hurst系数为时 就成为标准的Browinan运动.我们采用分式It’。型


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