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分数维微积分在自适应控制中的应用

张隆阁  
【摘要】:分数维微积分是经典微积分的推广,已经广泛应用于控制、物理、信号处理等许多领域中,越来越多的受到人们的重视。本文首先介绍了分数维微积分及其应用的历史和现状,较为详细的介绍了它在控制中的应用。然后,在第二章,介绍了分数维微积分的Riemann-Liouville定义和Caputo定义及其基本性质,以一个系统的建模为例说明了分数维模型能更好的描述系统的特性,最后详细的介绍了分数维系统的一些重要的研究成果。在第三章,介绍了Lyapunov稳定性的发展历史,利用分数维微积分的知识推广了Lyapunov第二方法,把Lyapunov第二方法中的条件:Lyapunov函数对时间t的全导数负定弱化为分数k(0<k≤1)阶导数负定,得到了类Lyapunov判据;定义了分数维系统的Lyapunov稳定性等相关概念,把类Lyapunov判据推广到了分数维系统,得到了分数维系统的类Lyapunov判据,在后面的研究中主要利用此判据设计出了分数维的自适应控制律。第四章,分别利用系统的状态和输入输出设计出了稳定的分数维模型参考自适应控制律。在自适应律的设计过程中,把系统的可调参数的辨识模型看作是分数维的,从而形成了分数维的闭环系统,利用第三章中的类Lyapunov判据设计出了稳定的具有调节时间短超调量小等更好的动态性能的控制律。该控制律是经典控制律的推广,仿真实验验证了此方法的有效性。第五章,利用非线性控制中的比较成熟的backstepping的控制方法,结合第三章中的类Lyanunov判据,设计出了Lorenz系统的稳定的分数维控制律和从系统具有严格反馈的两个混沌系统的分数维同步算法,得到了两个稳定的非线性系统分数维控制的重要定理。最后,仿真实验验证了此方法的有效性。


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