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集值优化最优性条件与稳定性问题的研究

侯震梅  
【摘要】:集值优化理论在不动点、变分学、微分包含、最优控制、数理经济学等领域有着广泛的应用,是目前应用数学领域中备受关注的热点之一。对这一问题的研究涉及到集值分析、凸分析、线性与非线性分析、非光滑分析、拓扑向量格、偏序理论等数学分支,有重要的学术价值和相当的难度。 集值优化问题的最优性条件和稳定性在集值优化理论中占有重要的地位。最优性条件是建立现代优化算法的重要基础;稳定性是优化理论的重要组成部分,向量优化的稳定性通过研究各种适定性取得了丰富的结果。但是,关于研究集值优化问题的稳定性的文献很少见到(Huang X.X.仅研究无约束参数集值优化问题在上半连续意义下的稳定性)。本文主要对集值优化问题的各种有效性的最优性条件及集值优化问题的有效解集和有效点集的稳定性进行了较为深入的研究。文章通过集值映射的导数、广义梯度及集值优化问题的鞍点刻画集值优化问题的最优性条件;并且集中研究集值优化问题的有效解集在各种上半连续意义下的稳定性及有效点集在次微分意义下的稳定性。具体内容如下: ● 一方面,在赋范空间中,讨论集值优化问题的有效元的导数型最优性条件。给出了可微Γ-拟凸集值映射的概念。当目标映射和约束映射的下方向导数存在时,在近似锥次类凸假设下利用有效点的性质和凸集分离定理得到了集值优化问题有效元的导数型Kuhn-Tucker必要条件;在可微Γ-拟凸性的假设下得到Kuhn-Tucker最优性充分条件;此外利用集值映射沿弱方向锥的导数特性给出有效解最优性的另一种刻画。另一方面,在局部凸拓扑向量空间,利用Dinh T.L.给出的集值映射的下半可微性定义了集值映射的导数。在凸性及拟凸性的假设下,利用凸集分离定理得到了集值优化问题的超有效元导数型Kuhn-Tucker最优性充分和必要条件。 ● 在局部凸拓扑向量空间中,利用强鞍点和严鞍点刻画了集值优化问题的强有效元与严有效元的最优性条件。首次定义了集值优化问题的强鞍点和严鞍点,给出了强鞍点和严鞍点的等价刻画;在一定凸性条件下,通过凸集分离定理及强鞍点、严鞍点的性质分别得到了强鞍点和严鞍点的最优性条件;考虑了Lagrange型对偶问题,分别给出了强有效、严有效意义下的弱对偶、逆对偶、强对偶定理,并得到了分别由强鞍点、严鞍点刻画的强有效元、严有效元的最优性条件。 ● 在锥偏序的Banach空间中,讨论由广义梯度刻画的集值优化问题严有


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