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几类非线性矩阵方程的Hermite正定解及其扰动分析

尹小艳  
【摘要】: 矩阵方程是矩阵理论中非常重要的分支,在数学本身及其它自然科学中有着广泛的应用.由于非线性现象在实际生活和应用的各个领域广泛存在,因此非线性矩阵方程的求解问题成为当今计算数学各领域最活跃的课题之一.近些年来,一类对称非线性矩阵方程X±A*X-nA=Q,n=1,2(其中, A为可逆矩阵, Q为任一正定矩阵)因其在电子网络,动态规划,随机过程,控制理论和统计学等工程应用中的重要作用引起了众多学者的关注,对这类方程的研究已取得了一系列的成果.同时,人们将此类方程推广到更为广泛的形式:(1).X±A*X-nA=Q,n为正整数;(2).Xs±A*X-tA=Q,s,t为正整数;(3).X±A*X-qA=Q,q0等. 本文主要研究以上几类对称非线性矩阵方程的可解性理论,不动点迭代算法和解的扰动分析. 1.对非线性矩阵方程X-A*X-2A=Q,给出了存在唯一正定解的充分条件:2‖A‖2‖Q-1‖31.在此条件下给出计算唯一解的不动点迭代算法并证明了算法的收敛性.结合Schauder不动点定理讨论正定解的扰动问题,给出正定解的扰动上界,同时根据Rice条件数理论,给出正定解条件数的显式表达式. 2.对方程X+A*X-nA=Q(n为正整数),讨论了该方程的可解性.给出这一方程存在两个互异正定解的充分条件:在此条件下,得到了正定解存在的具体范围及不动点迭代算法.给出极大解的一个重要性质.分析极大解的扰动问题,利用矩阵函数微分等方法给出极大解的两个新的扰动上界,讨论极大解的条件数并给出其显式表达式.理论分析和数值例子都表明我们的扰动界优于近期某些相关结果. 3.讨论矩阵方程X±A*X-qA=Q(q0).对X-A*X-qA=Q(q≥1),证明了该方程总有正定解并给出了正定解存在的具体范围,同时给出求解的两种不动点迭代算法,在一定条件下证明了算法的收敛性.对X+A*X-qA=Q,q≥1,讨论了该方程的可解性.证明了若此方程有解,则必有最小正定解.给出求最小解的不动点迭代算法并用数值例子对所得结果进行了验证.对方程X+A*X-qA=Q,0q1,给出正定解存在的两个充要条件.通过考察数量方程:给出该矩阵方程正定解的存在范围.证明了若则该方程必有最大解.给出求最大解的不动点迭代算法并证明其收敛性.最后考虑最大解的扰动问题.应用Rice条件数理论,研究最大解的条件数,给出条件数的一个简明有效的显式表达式. 4.讨论矩阵方程Xs±A*X-tA=Q,s.t为正整数.对Xs+A*X-tA=Q.首先讨论其可解性,通过考察数量方程得到Hermite正定解存在的充分条件和必要条件.在的条件下,给出正定解的包含区间.运用Banach压缩映象原理,给出了求极大解的迭代方法.讨论了极大正定解的扰动问题,分别利用代数变形和矩阵函数微分的方法给出极大正定解的几个易于计算的扰动界.对Xs-A*X-tA=Q,证明了该方程必有Hermite正定解,给出正定解唯一的条件:在此条件下给出求解的基本不动点迭代格式并证明了其收敛性.当st时,讨论矩阵方程Xs-A*X-tA=Q的正定解的扰动问题,给出了正定解扰动界的有效估计.数值例子表明所给迭代算法和扰动上界是可行和有效的.


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