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非局部时滞反应扩散方程的行波解和渐近传播速度

吴事良  
【摘要】: 在自然界中,时间滞后和空间扩散现象都是普遍存在的.近年来,许多研究者综合考虑时间滞后和空间扩散对微分方程的动力学行为的影响,得到一类新的无穷维动力系统:非局部时滞反应扩散方程,具体表现在非线性项结合了对过去时间和整个空间的加权平均.与(时滞)反应扩散方程相比,这类系统能够更加准确地反映所研究的实际问题,但时滞和空间非局部性也同时导致了数学理论研究上的困难,并带来了复杂的动力学行为.因此对它们的研究具有重要的理论价值和现实意义.本论文主要研究此类方程的行波解和渐近传播速度.主要工作如下: ·对于具有非局部时滞的交叉单稳型反应扩散方程,基于构造两个拟单调的上下比较系统并利用Schauder不动点定理以及Hopf分支定理,建立了振动行波解的存在性(包括非单调行波解和周期行波解).进而,通过将微分方程转化为相应的积分方程并利用卷积方程的非平凡解理论,证明了非单调行波解的唯一性,并得到了行波解在负无穷远处的精确渐近行为及行波解的最小波速的存在性.最后,利用加权能量法,建立了非单调行波解,(包括小波速行波解)的稳定性.作为主要结果的应用,分别讨论了两类具有交叉单稳非线性项的非局部时滞反应扩散模型的行波解的存在、唯一及稳定性. ·对于时滞非局部单稳型反应扩散方程,利用加权能量方法得到了该系统波前解的指数稳定性.进而考虑了一类非局部时滞的单稳型反应对流扩散方程,通过在加权Sobolev空间中建立该系统初值问题解的存在性与比较原理,并将加权能量法结合比较原理发展到该系统证明了波前解的全局指数稳定性.当结论应用到一些具有非局部时滞的生物和生理学模型中时,得到了许多有实际意义的结果. ·对于非局部(无穷)时滞单稳型反应扩散方程,研究了波前解和渐近传播速度.首先利用比较原理结合有限时滞逼近的方法,建立了该系统渐近传播速度的存在性.然后将单调迭代技术结合上下解方法以及极限逼近的方法应用到该系统,证明了其波前解的存在性与不存在性.结果表明,即使对这类具有非局部(无穷)时滞的单稳型反应扩散方程,其渐近传播速度仍然等于波前解的最小波速. ·对于一类不满足经典单调性条件的双稳型反应扩散系统,通过引入区间单调条件并将上下解方法结合单调半流的收敛性理论发展到该系统,证明了波前解的唯一性及全局渐近稳定性.进一步研究了一类非局部时滞的双稳传染病模型,通过引入一个无时滞的辅助反应扩散系统,利用上下解方法结合挤压技术建立了该模型波前解的存在性及唯一性.从理论上说明了对这一类系统,其双稳行波解关于大时滞依然具有持久性. ·对于非单调积分方程,通过构造两个上下比较的单调积分方程并利用Schauder不动点定理,建立了该系统行波解的存在性.然后,用卷积方程的非平凡解理论,证明了该系统行波解的唯一性,同时得到了最小波速的存在性以及行波解在负无穷远处的精确渐近行为.作为应用,详细讨论了一类具有非单调感染力函数的非局部传染病模型,通过将其转化为相应的积分系统得到了行波解的存在性和唯一性、最小波速的存在性以及行波解在负无穷远处的精确渐近行为.


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