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基于NURBS建模的高阶矩量法

袁浩波  
【摘要】: 高阶矩量法是精确分析电中尺寸目标电磁特性的一种常用方法。已有的高阶矩量法一般使用双线性面片逼近物体的表面,这种建模方法的精度较低,灵活性较差。尤其是对于弯曲比较大的曲面,不得不剖成很多小的面片分别逼近,这使得高阶矩量法退化成低阶矩量法。因此非常有必要引入专业的建模方法来取代这种粗糙的方法。在几何建模方面,国际标准化组织在1991年颁布了关于工业产品几何定义的STEP国际标准,把非均匀有理B样条(NURBS)方法作为定义产品形状的唯一数学方法。近年来NURBS建模方法的应用范围获得了快速发展,越来越多的商业CAD/CAM系统都先后开发和扩充了NURBS功能。 本文紧密结合支撑技术项目以及博士点基金项目,提出了基于NURBS建模技术的高阶矩量法。该方法首先对目标的结构使用NURBS技术进行建模,然后使用高阶多层基函数将电场积分方程转变为矩阵方程,接着对矩阵进行压缩存储,最后用迭代方法求解得到远场。主要研究工作和创新成果可以概括如下: 在几何建模方面,本文首先分析了双线性面片等插值建模方法的性质和特点,然后深入研究了由NURBS曲面转变出的Bezier曲面的数学特性,接着对插值建模方法和NURBS建模方法进行了对比。最后实现了基于wavefront公司的obj文件格式的数据自动提取技术。 在高阶基函数方面,本文详细给出了定义在曲面四边形上的矢量基函数,它包括定义在一个面片上的高阶分量和定义在两个面片上的低阶分量。针对高阶矩量法中编号和符号很复杂的问题,本文给出了一种基函数排序编号的方法,以及一种巧妙的判断公共边上基函数符号的办法。为了加快迭代求解系统方程的速度,本文给出了勒让德基函数和最大正交化基函数以降低矩阵的条件数。 现有的高阶矩量法一般采用简单的双线性面片建模,而不是复杂而精确的几何建模,其主要原因在于复杂的几何面片导致阻抗矩阵的填充速度往往慢到让人无法忍受的程度,特别是奇异积分消耗了大量的计算时间。本文提出了一种全新的基于泰勒级数展开的方法,大大降低了多层基函数带来的冗余计算,可以将奇异性阻抗填充的速度提高一百倍以上。此外,为了加快远区阻抗的计算速度,本文提出了一种近似方法将阻抗表达式的四重积分降低为二重积分,可以将积分速度提高五十倍以上。通过这些技术,可以将基于复杂几何建模的高阶矩量法的矩阵填充速度加快到和现有的高阶矩量法相比拟的程度,从而满足实用要求。 使用以上技术建立的算法还不能方便的分析一般的模型,必须专门处理几种特殊的几何结构,包括广义三角形面片、一条边上有多个面片、以及线面混合的问题。大量数值实验验证了本文算法的准确性和有效性,同时发现:在分析表面弯曲比较大的模型时,本文方法产生的未知数大大少于双线性面片建模的高阶方法。双线性面片建模的方法的未知数一般会受到几何形状和面片电尺寸两个因素的制约,而本文方法的未知数只由面片电尺寸决定。为了进一步减少未知数,本文测试了多种基函数展开一个波动函数时的性能差别。 在矩阵方程求解方面,本文使用了直接法和迭代法,其中迭代方法包括共轭梯度法(CGNR)、双共轭梯度稳定法(BICGSTAB)和广义最小残差法(GMRES)。由于高阶矩量法产生的一般是强奇异性的矩阵,迭代求解时收敛较慢。本文采用稀疏近似逆预条件(SPAI),显著降低了矩阵的条件数,在消耗较少存储量的基础上大大加快了迭代收敛的速度。 在快速计算方面,本文首先测试了IE-FFT方法。该方法对格林函数进行插值,利用了均匀网格上格林函数矩阵的Toeplitz特性来降低矩阵的存储量并加速迭代求解的速度。数值实验表明IE-FFT方法可以降低内存需求,加快迭代求解的速度。该方法在平面结构中非常有效,但是在三维问题中需要的网格点太多,所以往往占用很大的内存空间。 本文最后引入了自适应交叉近似方法(ACA)进行阻抗矩阵压缩。ACA方法利用了矩量法阻抗矩阵的低秩特性,在压缩的过程中不必完全计算所有的矩阵元素,因此速度较快。对于得到的压缩矩阵方程,本文使用直接法和迭代法进行求解。为了降低内存需求,本文使用了简单的核外求解技术(out-of-core),即用硬盘空间代替内存空间。数值实验的结果表明:问题规模越大ACA压缩的效果越好。


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