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小波有限元理论及其在结构工程中的应用

韩建刚  
【摘要】: 小波理论是近些年形成和发展迅速的一种数学工具。它在科学技术界引起了越来越多的关注和重视,在工程应用领域,特别是在信号处理、图像处理、模式识别、语音识别、量子物理、地震勘测、流体力学、电磁场、CT成像、机械故障诊断与监控、分形、数值计算等领域,它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。基于小波变换的小波分析技术是正在发展的新的数学分支。虽有学者将小波应用于结构工程中的微分方程求解当中,但是由于Daubechies小波的尺度函数和小波函数均没有明确的表达式,在计算关联系数时则存在一定的困难,利用数值法计算关联系数有不稳定等一些缺点,还限制着其应用的广度。本论文目的就是在对小波理论进行比较系统的研究之后,寻求利用小波求解微分方程的新的方法,发现并选择合理的小波函数与传统的有限元法相结合,创造性地提出用于结构工程的小波有限元法。同时,为了分析由于结构的物理、几何参数和约束条件等不确定性而引发的工程结构性能的不确定性,提出了随机小波有限元法,从而使小波在结构工程中的应用更加全面。 本论文首先推导了Daubechies尺度函数导数或高阶导数的正确计算结果,给出了它的连续性的判定方式。由于Daubechies小波本身导数的连续性随着支集的增加而增大,解高阶微分方程时,就必须增加支集的长度,这会使计算复杂化。在保证导数的连续性和不增加支集长度的前提下,采用Daubechies尺度函数与B—样条尺度函数的卷积对原方法进行了改进。构造出M—尺度关系,并且证明通常所采用的小波求解微分方程的两尺度关系为其特例,最后利用三尺度样条小波,提出了采用小波伽辽金方法求解问题的方法。 经常采用的小波Galerkin方法对微分方程边界条件的处理,均是将边界条件作为附加方程补充到整体方程中,从而求解超越方程组得到原方程的解,这导致了求解过程出现的方程组个数与未知量个数不一致。鉴于以上的原因,本文构造了满足 西安建筑科技大学博士学位论文 区间上边界条件的HermiteB一样条尺度函数基,提出Galerkin法求解格式,并应用 于弹性地基上有限长梁和板问题,给出了数值结果。给出了B一样条小波函数及其基 本性质,并提出了B一样条小波与Galerkin方法相结合的求解列式。 首次提出了一种基于二类、三类变量广义变分原理的全域多变量小波有限元方 法。首先构造了便于边界条件处理的插值小波基,应用乘积型二元插值小波基来构 造梁、板、壳的广义变量场函数,通过二类、三类变量广义变分原理建立了多变量 小波有限元模型。在计算各种变量时,不需要利用其物理关系,也不必求导,可直 接计算其结果,因而各种变量均有足够的精度。但是这种全域的小波有限元方法仅 在具有规则形状的区域内求解时才能显示出它的优越性;同时,通过它对结构中的 梁、板、壳的求解过程可以看出,都是要通过各自的广义变分原理刁.能求得其解, 通用性较差。 为此,本文利用小波函数构造通常有限元法中的位移函数,得到了利用小波函 数表示的形函数,并用小波形函数首次创造性地推导出了分域的小波有限元列式。 这种分域的小波有限元方法在当前的文献中还未见到。此方法与全域的小波有限元 方法共同构成了小波有限元法的两种求解思路,可相互弥补各自方法中的不足之处。 将小波有限元法与Monte Carlo法相结合,首次提出了Monte Carlo随机小波有 限元法,它兼顾了小波有限元和Monte Carfo模拟的优点,使之可以解决较为复杂的 随机分析问题和检验其它的随机分析方法。并用它求解了具有不确定性的几何尺寸、 材料常数及荷载条件的薄板问题。以确定性变量的变分原理为基础,根据随机变量 的特性,利用摄动二次技术,结合小波形函数,提出了随机变量的变分原理及随机 小波有限元法。此方法可以有效地将材料、几何形状、外力和位移等边界条件的随 机变化特性直接引入到有限元公式中。 最后,本文提出了系统地分析了基岩震动作用下的场地土、基础和结构共同作 用的随机反应的方法。首先假定土层的剪切模量随深度线性变化,引入结构微分算 子,利用连续线性系统的随机振动理论,研究了非均匀场地土层地震的动力反应问 题。然后,利用场地土的随机反应的统计值得到考虑场地土、基础和结构共同作用 系统的随机动力反应。


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