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基于B样条的自由曲线曲面光顺研究

王侃昌  
【摘要】:计算机辅助几何设计(CAGD),是随着航空、造船、机械设计和制造等现代工业的蓬勃发展而逐步发展起来的现代应用技术学科,也是应用数学的一个重要分支。曲面造型是计算机辅助几何设计的一项重要内容,主要研究在计算机图像系统环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。 对设计者来说曲线、曲面的质量是一个关键的问题,而曲线、曲面的光顺是评价其质量的重要指标。因此曲线、曲面光顺是计算机辅助几何设计中曲面造型的一个重要研究内容。而曲线、曲面的光顺问题涉及到几何外形的美观性、实用性、易加工等特点,是一个较难界定的美学概念。 本文在讨论计算机辅助几何设计中曲线连续理论的基础上,主要对基于高光线的曲面光顺方法和基于曲率(包括高斯曲率和平均曲率)的曲线曲面光顺方法进行了理论分析,并按工程实践的要求进行了分析研究。 首先在基于高光线的B样条曲面光顺研究中,在给出最小能量法的曲线光顺和曲线的给定控制顶点反求具体算法的基础上,提出了基于高光线的B样条曲面光顺的具体算法。又对局部控制顶点调整的Taylor展开法,在曲面的高光线生成中的应用进行了研究。 其次在对曲线的曲率光顺进行研究之后,对基于高斯曲率的B样条曲面光顺优化算法进行了深入的研究。在提出了高斯曲率曲面重构优化算法之后,对修改矩阵的产生过程进行了分析,形成了一个完整的基于高斯曲率方法的B样条曲面光顺的全过程。最后对离散数据的曲面光顺进行了分析研究,提出了对曲面点的高斯曲率直接修改的离散数据曲面单点光顺算法。 本文创新性的研究结果如下: (1) 对曲面光顺的数学基础进行了分析研究,提出了C~n、G~n直到F~n的定义概念,为曲线光顺进一步深入提供了可借鉴的数学方法。试图为曲线光顺提出新的Frenet标架连续的条件,更深刻的表达曲线的光顺机理。 (2) 在基于高光线的曲面光顺评价中,首次把Farin提出的最小能量法的曲线光顺应用于对曲面高光线的光顺。并对曲线的能量光顺算法进行了简化。对曲线的能量光顺算法中,应用样条应变能和弹性应变能对曲线进行光顺时,根据光顺时强调的重点不同,提出了样条应变能和弹性应变能取权系数的思想。提出了完整的基于高光线的B样条曲面光顺的方法:通过对曲面的高光线的光顺修改,以得到的高光线的控制顶点为曲线的插值点,进而反求出曲面的控制顶点,从而可以达到对曲面进行光顺处理的目的。 (3)首次提出完整的基于高斯曲率的曲面光顺方法。提出了基于高斯曲 率的曲面重构优化方法,该优化方法是应用非线性的最小二乘问题的高斯- 牛顿法,重点是计算优化目标的Jacobi矩阵。重构方法使曲面的光顺变成了 对曲面高斯曲率的修改,而修改矩阵和固有矩阵的分离可以比较直接的进行 不同的计算,修改矩阵的获得是设计者的思想的体现,从而实现将设计者从 烦琐的计算中分离出来的目的,至于其它计算和固有矩阵的产生过程,均已 成为曲面光顺处理的固有的背景数据,变成在整个处理过程中的后台处理, 从而可以比较容易地完成对曲面的光顺处理.具体的过程是:依据给定评判 准则,对曲面的高斯曲率进行修改,然后对原高斯曲率与修改后的高斯曲率 进行对比运算,可以得到修改矩阵.最后利用曲面高斯曲率的优化重构滩, 求得固有矩阵,结合修改矩阵,最终可以得到与修改之后的曲率对应的曲面。


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