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非线性演化方程多项式守恒律的构造算法研究和实现

张立元  
【摘要】:某些非线性演化方程拥有很强的物理背景,值得我们去研究。出现在应用科学学科中的许多非线性偏微分方程存在守恒律。在当代非线性科学中,非线性方程的精确求解及其可积性质的研究成为广大研究者的两大重要研究课题。判断非线性微分方程可积的有效途径之一就是看其是否拥有无穷多个守恒律。守恒律(如能量守恒、质量守恒定律)历来是物理学中研究的中心课题。本文通过对微分方程守恒可积性理论的学习,借鉴专家学者的理论思想,对现有的守恒律构造算法做了相应的改进。然后,以非线性演化方程为研究对象,借助符号计算系统Maple这一有力工具,编写非线性演化方程(组)的多项式守恒律自动求解软件包。论文的主要研究工作和成果如下: 论文首先介绍了研究守恒律的重要意义以及守恒可积理论的国内外研究现状及未来发展的趋势。 第二章主要介绍了守恒可积理论,介绍了人们在研究中发展起来的几种计算守恒律的方法。 第三章通过对守恒律构造算法的介绍,向大家阐明了非线性演化方程(组)多项式守恒律构造算法的基本原理,从而使大家对非线性演化方程(组)的守恒律的求解方法有了一定的了解。依据守恒律直接代数构造算法的原理,对现有的守恒律构造算法进行改进,并借助符号计算系统Maple编写守恒律自动求解软件包。 第四章介绍自动求解软件包POCLAW,通过符号计算系统Maple调用POCLAW对若干有意义的非线性模型进行多项式守恒律的求解,然后,对结果进行守恒可积性质的分析,并给出它们的守恒律的精确形式。对于参数化方程,设法给出使其可积的约束条件,以这些参数为出发点来寻找新的可积系统。 第五章对全文进行总结。


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