非线性演化系统的精确解求解及其自动实现研究

【摘要】：非线性演化方程通常指的是描述随时间演化的物理现象的一类数学模型,它是非线性系统科学的孤立子理论研究中最前沿的课题之一。近年来,随着非线性科学的快速发展,非线性演化方程的精确孤立波解已在物理学、生物学、图形学、通讯技术等自然科学和工程技术的各个领域得到了广泛的研究。 本文通过对非线性演化方程的精确孤立波解的求解方法的学习和研究,借鉴专家学者的理论思想,对tanh-sech方法从算法基础上做了相应的改进,并以非线性演化方程(组)为研究对象,借助符号计算系统Maple这一有力工具研究了多种不同维度的非线性演化方程(组)。为了使大家能更好的利用改进的tanh-sech方法研究非线性演化方程(组),我们还编写不同维度下非线性演化方程(组)的自动求解软件包,使大家在今后的研究中更得心应手。 本文主要从以下几个方面展开研究： 第一章阐述了孤立波的发现与提出,同时描述了孤立波从受到科学界的一致质疑到在理论上证实它的存在性并得到大家的认可的曲折过程,最后列举了人们在研究过程中发现的几中孤立波解形式。 第二章通过对各种典型的精确孤立波解解法的介绍,向大家阐明了非线性演化方程(组)精确解求解方法的基本思想和方法原理,从而使大家对非线性演化方程(组)的精确孤立波解的求解方法有了深刻的理解。 第三章对改进的tanh-sech方法的基本原理做了详细的介绍,并指出改进tanh-sech方法的必要性和有效性,最后借助符号计算系统Maple对(2+1)维KP方程、(2+1)维Ito方程、(2+1)维KD方程组和(3+1)维Burgers方程组分别做了研究,结果证明了改进的tanh-sech结果证明了改进的tanh-sech方法在求解高维非线性演化方程(组)精确孤立波解时的正确性和有效性。 第四章详细介绍自动求解软件包ASTNS的运行原理以及在Maple下的调用方法,并通过符号计算系统Maple调用ASTNS软件包对高维非线性演化方程(组)进行实例演示与分析,使ASTNS软件包在求解非线性演化方程(组)精确孤立波解的整个过程一目了然。 第五章总结全文并对精确孤立波解的求解研究工作进行展望。