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弦方程的逆问题:密度函数的唯一确定性

何翠竹  
【摘要】:微分算子主要研究两个方面的问题:一方面研究微分算子的谱问题.另一方面研究微分算子的逆谱问题.其中.逆谱问题主要研究.基于一定的谱数据.尤其是特征值.唯一确定微分算子并实现其重构.本文针对弦方程逆问题展开研究.主要内容及结果如下: 第一章绪论.主要介绍Sturm-Liouville问题的背景知识、研究现状以及本文所做的工作. 第二章研究弦方程密度函数的确定唯一性.将弦方程通过Liouville变换转化成势方程,利用Levitan的方法.给出了弦方程在不同谱信息下的逆谱问题.即对于弦方程问题的两组谱,分别考虑以下三种情况:(ⅰ)当其中一组谱有有限个特征值未知;(ⅱ)当其中一组谱的偶数项特征值已知.奇数项未知:(ⅲ)当其中一组谱的所有特征值都未知.我们给出弦方程密度函数的解析表达式. 第三章考虑一类具有间断点的弦方程逆谱问题.通过部分Liouville变换,将一类密度函数具有有限间断点的弦方程转化成一类权函数为阶梯函数的势方程,从而用一组谱确定了弦方程的密度函数. 第四章讨论弦方程的逆结点问题.研究了密度函数为有界变差函数的弦方程在Dirichlet边界条件下的逆结点问题.为此,本章首先建立了弦方程特征值的严格有界性定理:其次,证明了,当密度函数ρ(x)在区间[0,1/2]上已知时,由特征值对应的特征函数在[1/2,1]上结点的一个稠密子集唯一确定密度函数的结论:最后.推广到当密度函数在区间[0,1]上的一个子集[0,b]上已知时.密度函数可由特征值对应的特征函数在区间[b,1]上结点的一个稠密子集唯一确定.


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