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算子代数上的Lie映射和Jordan映射的研究

余维燕  
【摘要】:本文主要是对算子代数上的Lie映射和Jordan映射进行研究,内容涉及三角代数上的非线性Lie导子,因子von Neumann代数上的非线性*-Lie导子,因子vonNeumann代数上的非线性保*-Lie积和保ξ-*-Lie积的双射,CSL代数上的Lie三重导子,三角代数上的Jordan(θ,φ)-导子和完全矩阵代数上的广义Jordan导子.全文共分为四章,具体内容如下: 第一章首先介绍了本文选题的意义和背景,然后介绍了本文后几章常用到的导子,内导子,三角代数,套代数,von Neumann代数的概念及结论. 第二章讨论了三角代数上的非线性Lie导子,证明了三角代数上的每一个非线性Lie导子是一个可加的导子与一个使得换位子值为零的中心值映射的和.作为应用,刻画了块上三角矩阵代数和套代数上的非线性Lie导子的具体形式. 第三章首先研究了因子von Neumann代数上的非线性*-Lie导子,证明了因子von Neumann代数上的每一个非线性*-Lie导子都是一个可加的*-导子.其次刻画了因子von Neumann代数上的非线性保*-Lie积和保ξ-*-Lie积的双射. 第四章首先研究了CSL代数上的Lie三重导子.得到CSL代数上的每一个Lie三重导子具有形式L(X)=XT-TX+h(X)I其次讨论了三角代数上的Jordan(θ,φ)-导子,证明了当代数A,B只有平凡幂等元时,三角代数Tri(A,M,B)上的每一个Jordan(θ,φ)-导子都是(θ,φ)-导子.最后刻画了完全矩阵代数上的广义Jordan导子,证明了完全矩阵代数上的每一个广义Jordan导子是导子与广义内导子之和. 本文所得到的主要结果包括以下几个方面: (1)设u=Tri(A.M,B)是一个三角代数,(?):u一u是一个非线性Lie导子.如果πA(z(u))=z(A)且πB(Z(u)))=Z(B),则(?)是一个可加的导子与一个使得换位子值为零的中心值映射的和. (2)设H是复Hilbert空间且维数dim H≥2,M是H上的因子von Neumann代数.如果φ:M→M是一个非线性*-Lie导子,则φ是一个可加的*-导子. (3)设H是复Hilbert空间,H的维数dim H≥2设M,N是H上的两个因子von Neumann代数.如果φ:M→N是一个双射,且对任意的A,B∈M满足φ(AB-BA*)=φ(A)φ(B)-φ(B)φ(A)*,则φ是一个线性或共轭线性的*-同构. (4)设H是复Hilbert空间,H的维数dim H≥2设M,N是H上的两个因子von Neumann代数.ξ∈C且ξ≠0,1.如果φ:M→N是一个双射,且对任意的A.B∈M满足φ(AB-ξBA*)=φ(A)φ(B)-ξφ(B)z (A)*,则φ是一个可加的映射. (5)设L是复可分Hilbert空间H上的不相关的有限宽度的可交换子空间格(简称CSL)且dim H≥3,Alg(?)是与L对应的CSL代数,M是任意一个σ-弱闭的代数且包含AlgL.若L:AlgL→M是一个Lie三重导子,则存在T∈M及从AlgL到C的线性映射h,对任意的A,B,C∈Alg(?)满足h([[A,B],C])=0,使得对任意的X∈AlgL,有L(X)=XT-TX+h(X)I. (6)设A.B是2-无挠可交换环R上的只含有平凡幂等元的有单位元的代数,M是(A, B)-忠实双边模且u=Tri(A,M,B)是三角代数.设θ,φ是u的自同构,则u上的每一个Jordan(θ,φ)-导子都是(θ,φ)-导子. (7)设A是满足结合律的有单位元的环,M是A的特征不为2的双边模.则从完全矩阵代数Mn(A)到Mn(M)的每一个广义Jordan导子都是导子与广义内导子之和.


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