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基于复杂数据的两类统计模型的研究

闫莉  
【摘要】:部分线性模型是一类具有较强实际背景的半参数模型,由Engle等在1986年首次提出,之后有大量研究与众多应用.而广义线性模型理论是对线性模型经典理论的重要推广,可以用来分析实际问题中遇到的各种不同类型的数据.它在应用问题的研究中,特别是在社会、经济以及生物和医学数据的统计分析中,有重要的理论和实际意义.另外,在实际应用中常常遇到诸如缺失数据、测量误差数据以及相依数据等类型的复杂数据.关于复杂数据的统计分析已成为当前统计研究的前沿与热点问题之一因此,研究基于复杂数据的部分线性模型和广义线性模型中的统计推断有一定的理论意义和实用价值. 经验似然(EL)方法是由美国斯坦福大学教授Owen于1988年提出的一种非参数统计推断方法.这一方法与经典的正态逼近或现代的Bootstrap等方法比较,在构造置信域方面有很多突出的优点,例如,无需估计渐近方差、置信域形状由数据自行决定、Bartlett纠偏性以及域保持性等.EL方法的出现开辟了统计推断方法的新篇章,引起了许多研究者的关注和兴趣,他们将该方法应用到处理各种数据下的统计建模及各种应用领域.本文将经验似然方法应用到复杂数据下部分线性模型和广义线性模型中的估计问题中,推广了经验似然方法的应用领域. 本文主要在相依数据、测量误差数据以及缺失数据等复杂数据下,研究了部分线性模型和广义线性模型中的统计推断问题.首先,讨论了相依序列下的部分线性回归模型,得到了参数和非参数M估计的渐近性质,推广和改进了已有结果.其次,研究了全部协变量都有测量误差时的部分线性回归模型,考虑了未知参数的经验似然推断问题.最后,将经验似然方法应用于广义线性模型,包括固定和自适应设计下未知参数的经验似然推断,以及数据有缺失时未知参数拟似然估计和经验似然问题.论文共分为五章,主要内容如下: 第一章首先介绍了本文研究的主要内容,研究的意义和现状;接着对所研究的两个模型的相关知识和理论进行了回顾,并详细讨论了本文所研究的复杂数据类型和用到的主要研究方法;最后列出了本文的主要工作. 第二章主要研究具有随机适应误差的部分线性模型中M估计的渐近统计性质,通过逐段多项式方法和稳健估计方法,得到了参数的M估计和非参数函数的稳健M估计.利用鞅差序列中的不等式和极限定理,我们证明了参数M估计的渐近正态性和非参数函数M估计的最优收敛速度.最后利用数据模拟和实例分析说明了所提方法的稳健性. 第三章主要讨论数据有测量误差时,部分线性模型中的经验似然问题.在所有协变量都含有测量误差的情形下,我们利用逆卷积方法处理非参数部分有测量误差以及利用偏差校正方法处理参数部分有测量误差,得到了改进的辅助随机向量,并利用经验似然方法构造了对数经验似然比统计量.证明了所提统计量在参数真值处收敛于标准卡方分布.同时,我们讨论了参数的极大经验似然估计和广义最小二乘估计,得到了它们的渐近分布.通过数据模拟和实例说明了所提方法的有限样本性质. 第四章主要探讨固定和自适应设计下广义线性模型的经验似然问题.在响应变量为多维以及设计矩阵分别是固定设计和自适应设计情形下,利用经验似然方法,得到了未知参数的对数经验似然比统计量,并证明了该统计量收敛于标准卡方分布,从而可以构造参数的经验似然置信域.另外,讨论了参数的极大经验似然估计及其渐近正态性.最后利用数据模拟解释了我们提出的方法. 第五章主要研究缺失数据下,广义线性模型中拟似然估计的渐近性质和经验似然推断问题.首先在响应变量随机缺失下,从自然联系拟似然方程出发,得到了未知参数的拟似然估计并证明了该估计的强相合性和收敛速度.然后利用经验似然方法,在响应变量随机缺失下,构造了未知参数的经验似然置信域,并在三种缺失比率下利用模拟研究说明了所提方法的有效性.


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