关于经验模型互文性的定量研究

【摘要】：量子互文(Quantum contextuality)是比量子非局域性(Quantum Non-locality)更广泛的一种关联性质,是量子计算与量子信息处理的重要资源,因而成为量子信息学中一个非常热门的研究课题.经验模型(Empirical model)的互文性是量子互文性的数学框架.本文利用算子论、算子代数与矩阵论等理论与方法,系统研究了经验模型的互文鲁棒性、广义互文鲁棒性、互文成本、互文量化与互文提纯等一系列重要理论问题.本文共分七章,主要内容如下:第一章首先介绍了本文的研究背景和现状,然后列出了本文要用到的基本符号、概念以及已有结论,最后给出了本文的主要结果.第二章研究了经验模型及其互文性.首先研究了一个测量情形上的经验模型之集、无干扰的经验模型之集与非互文的经验模型之集的代数与拓扑性质.然后,讨论了 4-循环测量情形本身的性质,证明了不管量子系统处于什么状态,在“有迹”的4-循环测量情形下都目击不到互文现象.最后,在4-循环测量情形下,引入了两比特量子态的极大互文性的概念,得到了两比特量子态的极大互文性为0当且仅当在任意4-循环测量情形下,测量该量子态都目击不到互文现象.值得一提的是,证明了两比特量子态的极大互文性由该量子态的特征值决定,从而说明当且仅当量子态的特征值满足约束条件时,存在4-循环测量情形使得测量得到的量子经验模型是互文的.第三章研究了经验模型的互文鲁棒性与互文成本,并讨论了两者之间的联系.首先,受纠缠鲁棒性与量子关联鲁棒性的启发,引入了经验模型互文鲁棒性的概念,证明了互文鲁棒性可以用来区分经验模型是否为非互文的.考虑到经验模型是一族联合测量得到的概率分布,结果可能有误差,研究了在无干扰的经验模型之集上,互文鲁棒性函数的有界性和连续性.然后,计算了任意n-循环盒子的互文鲁棒性,从而建立了它与非互文不等式违背量之间的联系.最后,引入了经验模型互文成本的概念,证明了互文成本可以用来区分经验模型是否为非互文的,经验模型是强互文的当且仅当它的互文成本为最大值1,并讨论了经验模型的互文鲁棒性与互文成本之间的联系.第四章研究了经验模型的广义互文鲁棒性.首先,基于广义纠缠鲁棒性的研究,引入了两个概念:经验模型e相对经验模型f的广义相对互文鲁棒性和经验模型e的广义互文鲁棒性,得到了广义互文鲁棒性可以用来区分经验模型是否为非互文的.与互文鲁棒性不同,任意经验模型的广义互文鲁棒性是有限的.最重要的是,只要经验模型e相对经验模型f的广义相对互文鲁棒性有限,就有这两个经验模型的广义互文鲁棒性的乘积小于等于1,这就说明,这两个经验模型的广义互文鲁棒性不能同时大.最后,建立了 n-循环盒子的广义互文鲁棒性与互文鲁棒性之间的联系.第五章用互文量(QoC)量化经验模型e的互文性.首先,引入了一族与e相关的经典关联态,证明了 e是非互文的当且仅当这一族经典关联态中有乘积态.然后,基于迹距离引入了经验模型的互文量来量化其互文性,证明了互文量可以用来区分经验模型是否为互文的,具有凸性、连续性等重要性质.最后,基于Peres-Mermin-isotropic 盒子 PMα,Mermin-isotropic 盒子 Mα,与CHn-isotropic盒子(CHnα互文的充分条件,讨论了它们互文的充分必要条件,并容易地比较了它们互文性的强弱(互文量的大小).第六章研究了更有效的互文提纯方案.首先介绍了本章关注的对象:广义关联的n-循环盒子en,λ,ε,得到了它的互文性强弱可由参数ε来刻画.然后提出了互文提纯方案*,它可以增加参数ε,从而可以提纯任意的互文的en,λ,ε.特别地,当测量情形是Clauser-Horne-Shimony-Holt(CHSH)测量情形时,互文提纯方案*成为了非局域提纯方案.更为重要的是,证明了任意的互文的en,λ,ε经过互文提纯方案*无限次迭代可以提纯至极大互文的n-循环盒子CHn(n-链盒子).最后与已知的互文提纯方案以及非局域提纯方案比较,得到了互文提纯方案*有最高的提纯速率,最强的逼近能力,且可以目击到更多会导致平凡通讯复杂度的4-循环盒子.