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三类微分系统解的渐近性质

汤红吉  
【摘要】: 所谓系统解的渐近性质就是指当t→+∞时解的性态,它包括:解的吸引性,渐近稳定性,振动性等。这些性质揭示了动力系统的长期行为,因而在生态学,经济学,神经网络等众多领域有着广泛的应用.本文研究了三类微分系统解的渐近性质。 在种群动力学的研究中,种群的持续生存是最基本,最有趣的课题之一。在许多研究种群持续生存的文献中,关于如何挽救面临灭绝的种群,有两种途径得以实现:一是通过人为干预,放养或捕获,使其持续生存;一是通过种群间的自然调节,迁移它的生存环境,使其持续生存。已有文献表明两个不稳定的斑块体系可以通过相互扩散而达到种群的持续生存。另一方面,时滞现象在自然界中是普遍存在的.对于不同的模型,时滞对其稳定性的影响也是不同的。现实世界中,扩散与时滞在自然界中往往是同时发生的,基于此,在本文的第二部分,研究了具有时滞及多扩散的n-斑块单种群模型 x_i~'=x_i[r_i(t)-a_(ii)(t)x_i(t)+a_(ii)+1(t)x_i(t-T_i)]+sum from (D_(ij)(t)(x_j(t)-x_i(t))) x_i~'=x_i[r_i(t)-a_(ii)(t)x_i(t)+a_(ii)+a(t)integral from n=0 to-T(k_i(s)x_(i)(t+s)ds]+sum from n=n to(j=1) (D_(ij)(t)-x_i(t)))的持续生存性和解的全局渐近稳定性.本文利用微分不等式,比较原理和Lyepuno~’Razumkin技巧,分别获得如上两个模型持续生存和一致持久的充分条件,以及模型任意正解全局渐近稳定的充分条件.由此得出在一定条件下,扩散对种群的持续生存和以上两模型正解的全局渐近稳定性没有影响. 在自然界中,许多种群都要经历幼年和成年两个阶段,而且种群在不同的生理阶段其生理特性有着明显的差异.为了能真实的反映这种生理现象,在建立生态模型时常将种群按其生理特征分成幼年和成年两个阶段,即年龄阶段结构模型。本文在第三部分研究了如下具有捕食与被捕食及收获的两种群年龄阶段结构模型x1~'=a1x2-(γ1+a1)x1,x2~'=a1x1-β1x_2~2-E1x2-b1x2y2,y1~'=a2y2-(γ2+a2)y1,y2~'=a2y1-β2y2~2-E2y2+b2x2y2. 通过构过V函数,得出当收获卒为零时,相对转化卒(上匹L)和相对捕获率(二) ”’”””’”””””’”’””’””””””h+a‘””””’”’”“”g’ 决定了上述模型的持久性.由于对生物资源的合理开发与可持续发展问题密切 相关,现已受到学术界的高度重视.但从目前已知的文献来看,对于两个种群同 时具有年龄阶段结构,且同时对两个种群进行开发的结果较少,本文通过构逅 Lyapunov函数,得到了当捕获率不为零时上述模型存在一个全局渐近稳定的正平 衡点的充分条件,也就是说,在一定条件下,种群兄。都趋于一个常种群规模.同 时,确定了最大可持续捕获努力量,相应的种群密度和可获得的最大利润,讨论 了开放条件下的生物资源管理,从而为管理部门决策提供了一定的理论根据. 由于许多模型可用泛函微分方程来描述,且其解的渐近性和振动性具有较强 的理论和实际应用价值,故泛函微分方程成为人们感兴趣的课题之一.对于非线 性系统而言,人们总是希望能书其线性化,这样便于数学问题的研究,但实践证 明,不但不能用线性系统代替对非线性系统的分析,就是对拟线性系统而言,无 论是理论分析方法还是解的性态,与线性系统相比都有本质的区别.本文在第四 部分研究了如下高阶中立型微分方程 (x(t)+a(t)。卜(t)》(”)+f(t,。佃(t)),…,。(g。(川)二 h(t) 解的渐近和振动性问题.当坷t)。0,ac)。0时,已有文献给出此时其解满足某种 渐近性质的若干判别准则;当h(t)。0,叶t)一0时,该方程为一个高阶中立型微分 方程,已有文献给出此时它的解振动的若干判别准则;当h(t)#0,a(t)#0时,该 方程为非线性非齐次的高阶中立型微分方程.本文利用微分不等式,得到了此时 它的解渐近和振动的若干判别准则,推广和包含了已有文献中的若干结果.


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