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三类生态模型解的定性研究及二阶脉冲微分方程的振动性

武秀丽  
【摘要】:在生态系统中,研究时滞对种群的影响有很重要的实际意义,若种群的数量较多,世代不重叠,则研究连续模型比离散模型更为符合实际,许多学者对研究具有时滞的生态数学模型颇感兴趣,并且研究种群的持续生存性一直是他们关注的课题,这对于挽救即将灭绝的种群是很重要的。近年来,学者们还发现,生态系统中某些参数的变化会引起种群稳定性的变化,从而产生周期解(或极限环),即所谓的分支现象。正如J.M.Cushing指出:考虑生态系统的生态参数的变化是重要而合理的,因为生态系统及其参数受季节变化、实物增减、播种与收获季节、食物链的改变及动物配偶的习惯等影响。由此可见,对生态系统分支现象和稳定性的研究也成为一类极其重要的研究课题。 本文分四部分讨论了三类生态系统解的稳定性和分支问题及具有脉冲的二阶ODE的振动性问题。 第二部分是一类具有连续时滞的单种群生态模型,模型1是: /f ,3 ,,(‘)二z(‘)((—Qx(‘)—7/ F(‘—‘)x(s)ds],F(C)二÷C’e—“, J—K 6其中x(t)代表种群x在t时刻的密度,‘是种群的内禀增长率,Q是密度制约系数且是正数,7是非负数。通过将此模型转化为四维方程组,利用文献[1][2][3]中的稳定性和分支理论,得到了该系统正平衡态局部稳定的充分条件以及系统出现从正平衡点分又出来的分支周期解的分支值,且当分支周期解出现时,该周期解稳定的充分条件,部分的解决了文献[4]中提出的渐近性问题。 在宏观研究领域,对种群的研究,不仅要研究其本身的生理变化和发展状况,而且要研究周围环境对种群生存的影响,例如研究甲虫的生态学问题,不仅要研究甲虫所栖息处面粉的优劣,而且要研究甲虫所处环境的温度与湿度的变化情况,若我们把温度和湿度作为参数,由文献[15]实验观察知:当温度发生变化时,甲虫的行为有一个分裂或突变,用数学的语言来说,即:该系统中的一些参数发生变化时,其正平衡点的稳定性被破坏,出现了分支,产生了周期解(或极限环)。为此,本文第三部分研究了一类具有两个离散时滞的生态数学模型解的稳定性,周期解和分支周期解问题。模型2为: rz,二工(‘)/(2(c),2/(‘),z(‘一71),2/(‘一75)), l 2/,‘2/(‘)夕(x(C),1/(‘),工(‘一71),2/(‘一T2)),该模型中所有的参数都是常数,由于模型中引入两个时滞,因此应用普通讨论一个 参数的方法显得无能为力,本文利用文献【if]中的RDucheb定理,得到了分支周期 解存在及其稳定的充分条件.利用代数理论,得出了系统正平衡点条件稳定的充分 条件,并把时滞作为分支参数,给出了分支点出现的条件,分析了分支周期解的稳 定性. 种群的持续生存和稳定性问题一直是国内外学者关注的重要课题,文献问只考 虑单个时滞对种群的影响,而在实际环境中,不仅当前时刻,而且以前的任何时刻 或时间段都会影响到种群的生存与绝灭.为此,本文第四部分研究了一类具有对称 的多个时滞的捕食与被捕食系统,模型是: 矿un D c=】卜1卜】十a川n十》山川【一n】一 公 从川c一a】卜 I p”y厂)厂2+叫卜)十)厂术Z一厂)十)山川z一Jill, 其中 a<0.又三 0,Ti,a;三 0,。小=l,;n)是常数.通过构造持久性函数,得到了该模 型持续生存的充要条件,利用LivaPunov泛函和特征方程,得到了正平衡态全局稳定 的充分条件和必要条件,进一步发展和推广了文献闷的结果. 脉冲微分方程的振动性是近年来发展起来的微分方程的一个重要分支,也是许 多学者关注的问题之一,它来源于生物学和医学的一些数学模型(参看文献【331)为 此,本文第五部分研究了一类具有脉冲的H阶常微分方程的振动性.模型4为 D 厂厂lr 厂川 十p厂Ir 厂J+V厂,r厂川”U,LUO,KUt,尤“且,Z,…,n; J_Ich十、_I_I丑、、.,。十、LI_,/品、丸 、以nJ”“IXu*川,X厂二J“**IX厂*U, l_I工+1__IJ+\_ 人工厂D)”IO;工厂d)”c小 利用微分方程的不等式理论和黎卡提变换,得到了其解振动的判别准则. 本文在一些定理的证明方法上有一定的创新.在第三部分,证明分支出现的区 域与以往把系统中的一个时滞看作参数的方法有所不同;第四部分在构造持久性函 数和LiaaPunov泛函的结构上有独到的处理方法;第五部分构造了新的i。atti变换, 解决?


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