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代数系统的可嵌入性

张花荣  
【摘要】: 自1965年L.A.Zadeh提出模糊集的概念以来,关于模糊系统的研究得到了迅猛的发展,模糊控制技术被广泛应用于工业控制与家电产品的制造中,并取得了令人瞩目的成功。然而,模糊逻辑缺乏深入的理论研究,特别是模糊推理这一模糊控制原理的核心部分,缺乏严格的逻辑基础。其中的合成推理方法存在着某种缺陷,使得模糊推理与模糊逻辑没有很好地结合起来,这导致了实质在于质疑模糊推理方法的理论基础的一场论战。为了促进模糊逻辑与模糊推理的融合与发展,王国俊教授作了大量深入细致的工作,并取得了一系列有意义的成果。这些研究成果已使模糊推理缺乏逻辑基础的状况得到了较大的改善。在完全解决模糊推理的逻辑基础问题中,形式演绎系统的完备性是非经典逻辑的主要研究方向之一。对于一个形式系统而言,完备性是至关重要的逻辑性质,它反映了该系统语法与语义的和谐性。正是为了追求这种和谐性,非经典逻辑领域的许多学者进行了大量的研究成果,取得了大批重要的理论成果。而在完备性问题研究中,可嵌入性是一个关键的问题,无论是证明Lukasiewicz的完备性还是系统(?)的完备性问题,可嵌入性发挥了至关重要的作用。在可嵌入性的保证下,当一个公式对所有的某种线性代数系统是重言式时,其必定对所有的同种代数系统是重言式。而线性代数系统讨论起来就方便多了。从而研究代数系统的可嵌入性是非常有意义的。本文的目的正是研究几类重要的代数系统的可嵌入性问题。 本文的主要内容如下: 第一章:讨论了FI代数及其MP滤子的性质;给出了LFI代数及CLFI代数的定义;讨论了LFI代数的性质;在此基础上,给出了LFI代数可嵌入于全序FI代数乘积的充要条件。事实上,关于LFI代数的这一方法完全可“平移”到讨论剩余格的可嵌入性问题上。进而还指出了具有可嵌入性的LFI代数的性质。 第二章:讨论了满足(*)式的剩余格的一些性质;找到了剩余格可嵌入于全序剩余格乘积的充要条件;利用这个结果,得到了几类重要代数系统像R_0代数、MV代数、BL代数、WNM代数、蕴涵格等等具有可嵌入性;还讨论了LFI代数与剩余格的关系,给出了CLFI代数成为剩余格的充要条件。 第三章:从多方面研究了MTL代数的MP滤子,给出MTL代数极大MP滤子的定义;找出了是MTL代数极大MP滤子的等价条件;对MTL代数的子代数给予刻划;还讨论了局部有限MTL代数;研究了MTL代数的布尔滤子;证明了当F是MTL代数M的布尔滤子时,M/~F是布尔代数;还讨论了局部MTL代数。因为MTL代数是一类比较基本的代数系统,像R_0代数、MV代数、WNM代数等等都是MTL代数,所以这些结果在上述代数系统中也是成立的。 第四章:证明了当两个阿基米德卜范的减生成子具有某种关系时,这两个阿 基米德t-范是同构的;这个工作使得仅需判断两个阿基米德t-范的减生成子在0 处的值,便可以搞清楚它们是否同构,这在很大程度上简化了Hdjek的工作.指 出了由严格的仁范定义的蕴涵算子方($叨在叮0)处不连续;并给出了什么样的 蕴涵算子定义的t-范是阿基米德的.


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