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命题集的相容性、根及发散性

任燕  
【摘要】:本文涉及三个命题逻辑系统:二值经典逻辑系统,Lukasiewicz逻辑系统和L~*逻辑系统,主要内容是在不同的逻辑系统中有重点的讨论命题集的相容性、命题集的根以及命题集的发散性与相容性之间的关系。 在任何逻辑系统中,命题集的相容性都是一个十分重要的问题。命题集是相容的或是不相容的是我们对命题集的好坏最简单也是最直接的分类。我们主要关心的当然是相容的命题集,所以有必要讨论命题集的相容性,从而把不相容的命题集分离出来。本文的第一章主要在L~*系统中讨论了命题集的相容性,详细研究了两种特殊的命题集-极大命题集和完备命题集,并给出了具体的例子加以说明,中间穿插说明与二值逻辑系统中相应性质的差异。 在逻辑学中,人们把各种具体的命题抽象化为符号,如A,B,C等。并可利用逻辑连接词对这些代表命题的符号(公式)进行运算以得更多的公式。一个自然的问题是给定了一组公式Γ,从Γ出发可以“推出”哪些公式?即,若以D(Γ)表示全部Γ-推论之集,那么D(Γ)这个集合是怎样的?王国俊教授在文献[1]中首次提出在命题集F(S)中引入伪度量p,通过p可以计算D(Γ)的直径,从而了解D(Γ)的大体情况。同时,王教授也在文献[1]中首次提出了关于命题集Γ的根的概念。从根的意义上看,只要知道了Γ的最小推论(即根),把比它大的公式拿来就得出了Γ的全部推论。但文[1]只证明了二值命题逻辑系统中公式集F(S)的每个有限子集都有根,对于L~*系统,命题集Γ的根的存在性及性质并未涉及。在本文的第二章中,主要讨论并回答了这个问题。此部分中首先给出独立命题集的概念,并在独立命题集中得到:任一有限的独立命题集的根都存在,给出了根的一般表达式;任一无限的独立命题集的根都不存在。而后又定义了命题集的约简,利用约简的定义把根的存在性的问题推广到一般的命题集上,对根的概念及其应用作了较深入细致的分析及推广。 既然命题集的相容性是任何逻辑系统所关心的,那么一个自然的问题是:命题集的相容性是否有程度之分?命题集的发散度的引进为解决这一问题提出了一种有利的工具。发散度的值在[0,1]中变化,称发散度为1的公式为全发散的,那么显然不相容的命题集是全发散的。反过来,全发散的命题集是否必为不相容的?这是一个尚不清楚的问题。本文的第三章中,在我们所涉及的三个系统中均回答了这一问题。关于命题集的相容度是否有程度之分,以及关于命题集的相容度的计算问题,文[40]针对Luksiewicz逻辑系统中的有限命题集提出了相容度函数,用来刻画有限命题集的相容度,对于无限命题集文[40]并没有给出相容度函 数.第三章的最后一节受文阵01的启发,讨论了二值经典逻辑系统命题集的相容度 的计算问题,给出了任意命题集相容度函数,同时也把文【40]所给的函数推广到 一般命题集上.同时也可以看出,这种推广在满足紧致性的系统中具有一般性.


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