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M-矩阵等特殊矩阵及其特殊积

楼嫏嬛  
【摘要】:特殊矩阵(Special Matrix)是指它的元素在数值上或其所具有的性质上有特性的矩阵。从大的方面来说,它们大体上可以划分成两部分:一部分是通过含有不易直观识别的性质来刻画的,我们称之为特性矩阵或性质矩阵;另一部分则是通过容易直观识别的模式来刻画的,我们称之为特型矩阵。特殊矩阵无论在学术上还是在应用上都有其自身的价值和起着独特的作用。一方面,大多数矩阵类型都有着一定的应用背景;另一方面,从应用课题的研究中又会引出某些矩阵类型。 本文对若干特殊矩阵进行了探讨和研究,主要作了以下几方面的工作: 第一,本文对一些特殊矩阵的特殊积,如Fan积,Kronecker积,Hadamard积等进行了讨论,得出诸如正规矩阵的Kronecker积仍是正规矩阵等一些结果。并简要介绍了M-矩阵理论与经济学研究的密切关系。 第二,本文分别对M-矩阵,逆M-矩阵,H-矩阵进行了不同程度的讨论。重点讨论了M-矩阵的最小特征值问题,所得的主要结论有:设A∈R~(n×n)是M-矩阵,则l~r(A)≤l(Ao~r),这里r为奇数;若A∈R~(n×n)是M-矩阵,A是A的任一主子矩阵,则有l(A)≥l(A);若A,B∈R~(n×n)是不可约M-矩阵,则存在正对角矩阵D_1=diag(d_1,…,d_n)与D_2=diag((?)_1,…,(?)_1),使得D_1A~(-1)D_2是双随机矩阵且,其中。并以此结论为工具对某一已有结果(若A∈R~(n×n)是不可约M-矩阵,则存在正对角矩阵D_1与D_2,使得D_1A~(-1)D_2是双随机矩阵。)作出改进,即:设A∈R~(n×n)是不可约M-矩阵,记,则存在正对角矩阵D_1=diag(d_1,…,d_n)与,使得D_1~A(_1)D_2是双随机矩阵且。在对逆M-矩阵的讨论过程中,得出若A,B∈R~(n×n)是逆M-矩阵,则A+B仍是逆M-矩阵的等价条件;得出若A=[a_(ij)]∈R~(n×n)是行严格对角占优的逆M-矩阵,B=[b~(ij)]∈R~(n×n)是逆M-矩阵,则A*B是M-矩阵;还得出逆M-矩阵的Schur补仍是逆M-矩阵等结果。本文还分析讨论了H-矩阵的一些基本性质,把Z-矩阵最小特征值的定义推广至H-矩阵,得出若A,B∈C~(n×n)是H-矩阵,则l(AoB)=l(A*B)≥l(A)·l(B)等一些类似于M-矩阵最小特征值的结果。 第三,减弱Plemmons,Neumann等人所归纳出的关于M-矩阵的各种条件, 提出所谓广义M一矩阵的概念.讨论了一类广义M一矩阵,得到与这类广义M一矩 阵定义等价的若干条件.


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