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IMTL逻辑系统及IMTL-代数

马晓珏  
【摘要】:模糊逻辑作为非经典数理逻辑的一个重要分支是人工智能与信息科学等许多领域中推理机制的基础。按L.A.Zadeh的观点,模糊逻辑有广义与狭义之分,狭义模糊逻辑是对近似推理形式化所得出的逻辑系统,是多值逻辑系统的扩张。而广义模糊逻辑则是指模糊集理论,它的范围显然要比狭义模糊逻辑要广得多。工程技术界所说的模糊逻辑都是指广义模糊逻辑,但在理论性研究中则讨论狭义的模糊逻辑。本文也与此相一致。 多年来,通过众多学者的努力研究,模糊逻辑得到了纵深发展,并伴随出现了一些新的研究方法,为模糊逻辑的进一步繁荣提供了强而有力的工具。如代数方法,即在研究逻辑系统的同时研究与之相应的代数结构,利用代数的一些研究成果去解决逻辑中的问题,其中MV-代数及R_0-代数在证明各自相应逻辑系统完备性问题上所发挥的作用,就是代数方法运用得比较成功的例子.另外,将t-模引入逻辑中,形成一类基于t-模的逻辑系统,也是近年来模糊逻辑研究中常见到的方法。由P.Hájek提出的BL系统就是一类基于连续t-模的逻辑系统。它有三个常见的扩张,Lukasiewicz,Gdel和Product系统,分别是基于我们所熟悉的三个连续t-模。但事实上,基于t-模的逻辑系统所要求t-模满足的条件,左连续即可,不需要连续。所以最近,F.Esteva和L.Godo又给出了一类基于左连续t-模的逻辑系统MTL(Monoidal t-norm based logic).而IMTL是MTL的一类扩张。 本文主要研究的是IMTL逻辑系统及与之相应的代数结构——IMTL-代数,还有IMTL的两个完备扩张Lukasiewicz和(?)~*逻辑系统中的一些问题。全文共分三部分: 第一部分:这是本文的主体部分。先介绍了一些相关的预备知识,接着对IMTL逻辑系统及IMTL-代数性质进行研究,给出了IMTL系统的一种等价公理体系,证明了IMTL-代数,弱R_0-代数及弱MV-代数的等价性;最后,在前面工作的基础上,提出了一种新的左连续三角模⊕_p,证明了是IMTL-代数,对其进行研究分析,并进而得到一种新的代数结构——R_p-代数,它是IMTL-代数的一个扩张。由R_p-代数,以IMTL系统为基础,建立了与之相应的(?)_p逻辑系统。 第二部分:利用McNaughton函数,研究了Lukasiewicz逻辑系统中的可达广义重言式。在Lukasiewicz逻辑系统中有这样的结论:对于任意有理数α,可达α- 重言式之集非空.在此基础上,利用McNauslltoll函数证明了,当。为无理数时, 没有可达。一重言式,进而给出了F(s)的一个分划;还证明了在Lukasiewicz逻辑 系统中,重言式可由对非重言式进行有限次升级运算得到. 第三部分:研究了IMTL的另一个扩张一户逻辑系统中的一些问题.在户 系统中,证明了户一Lindenbaum代数中的MP滤子都具有如【D(r)!这样的形式, 其中{D(r)}二{{川{r卜A};又进一步证明了{川中格论意义下的极大滤子都是极 大MP滤子,并给出了刻划极大滤子的一个充分条件.


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