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关于框架的若干问题的研究

姚喜妍  
【摘要】:小波分析中的框架通常是指由Hilbert空间中的满足某种特性的一列向量组成的集合。框架具有正规正交基的一些性质,框架是正规正交基的一般推广。本文的研究内容涉及Hilbert空间中的框架、Banach空间中的框架与HilbertC~*-模中的框架三个方面的内容。在Hilbert空间中,系统研究了Hilbert空间中的广义框架、子空间框架及Hilbert空间L~2(R)和L~2(R~n)中一类特殊类型的广义框架-正规窗口Fourier变换。在Banach空间中,深入研究了Banach空间中的广义框架的一系列性质。最后,我们研究了Hilbert C~*-模中框架的一些重要性质。全文共分五章: 第一章首先引入Hilbert空间H中的Bessel集、正规紧广义框架、独立广义框架及对偶广义框架,给定Bessel集h={h_m}m∈M(?)H,利用算子T_h:H→L~2(μ),讨论了它们的等价性质,T_h分别是有界算子、等距算子及可逆算子当且仅当h分别是Bessel集、正规紧广义框架及独立广义框架。深入研究了广义框架的稳定性,也就是设{h_m}m∈M是H中的广义框架、正规广义框架及正规紧广义框架,探讨当算子V满足什么性质时,k={Vh_m}m∈M是H中的广义框架。然后引入了广义框架算子和等范数广义框架这两个新概念,得到了广义框架、正规紧广义框架及广义框架算子的等价关系,给出了H中任一向量f都可以表示成形式∫g(m)h_mdμ(m)。证明了等范数广义框架的一些性质。最后引入广义框架的非交性、强非交性、保非交算子及强保非交算子这些新概念,给出了它们的一些重要性质。 第二章运用泛函分析中算子理论方法,研究了Hilbert空间中的子空间Bessel列和子空间框架。通过引入有界线性算子T_(W,v):(∑_(i∈N)(?)W_i)l_2→H,建立了Hilbert空间中的Bessel列、子空间框架与其算子空间B((∑_(i∈N)(?)W_i)l_2,H)中相应算子之间的关系,并且获得这些序列的完全刻画。以此作为工具,用Hilbert空间H中的范数和内积来度量“接近”,得到子空间框架的摄动性质,即设{W_i}i∈N是H中关于正权数列{V_i}i∈N的一个子空间框架,且{(?)_i}i∈N是H中接近于{W_i}i∈N的一列闭子空间,则{(?)_i}i∈N也是H中关于正权数列{U_i}i∈N的一个子空间框架。最后利用有限维逼近方法,给出了子空间框架算子的逆算子的逼近公式。 第三章研究一类特殊类型的广义框架{gξ,t:(ξ,t)∈R~2},gξ,t(u)=g(ut)e~(2πiξu),g∈L~2(R)。引入并研究了Hilbert空间L~2(R)上正规窗口Fourier变换及


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