量子逻辑中有效代数与伪有效代数的研究

【摘要】：量子力学是一套构造物理学理论的规则,而量子逻辑是量子力学存在的数学基础。自从1936年,G.Birkhoff和J.von.Neumann提出量子逻辑的概念以来,完备的复可分的无限维希尔伯特空间中的闭子空间格。作为一种正交模格,一直是量子逻辑研究的一个主要数学模型。随着量子逻辑研究的发展,又出现了许多新的模型。例如,有效代数作为一种量子有效模型,可以体现量子测量中的Sharp与Unsharp问题;伪MV代数以及伪有效代数可以满足物理系统中非交换性的需要。总的来说,基于相应量子物理系统的需要,对于量子逻辑的研究主要集中在两个方面:一个是从运算的角度,基本出发点是态(state),研究state的凸结构;一个是从代数的角度,基本出发点是物理系统中的可观测量(observable),研究所有observable组成集合的代数结构。 本文主要是从代数的角度去研究量子逻辑,主要考虑以下两种量子结构:有效代数与伪有效代数。这两类量子结构是当前量子逻辑研究的主要对象,本文得到的结果有助于探讨这两种结构的内部构造,这也是许多学者正在致力研究的课题。本文的创新点主要有如下几个方面:(1) 根据偏序集上Fuzzy集的特点,给出了有效代数、σ-完备有效代数等量子结构的构造;(2) 提出了几种新的unsharp有效代数,例如anti-BZ-有效代数和S-anti-BZ-有效代数,并证明了S-anti-BZ-有效代数的sharp元集合具有标准量子结构性质;(3) 给出了广义理想,广义滤子的概念,并分别在有效结构、伪有效结构方面得到许多好的性质;(4) 沿着差分方向,介绍了伪差分偏序集和伪布尔差分偏序集,并分别证明了伪差分偏序集范畴等价于伪有效代数范畴、伪布尔差分偏序集代数等价于伪MV代数;(5) 引入了伪有效代数的定向极限的概念,证明了伪有效代数范畴存在定向极限;引进了有效代数的逆极限的概念,证明了这样定义的逆极限是范畴意义下的逆极限。 文章共分为三个部分。 第一部分包含第一章,主要介绍近年来关于量子有效结构与量子伪有效结构的研究进展以及本文必需的基本概念与结果。 第二部分包含第二、三、四章,主要研究有效代数的结构性质。各章的研究内容叙述如下: 第二章从偏序集上的模糊子集出发,得到了某些量子结构的构造,主要给出有效代数、σ-完备有效代数、完备有效代数、正交代数、正交模偏序集、σ-正