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Quantic格与Quantale中若干问题的研究

王顺钦  
【摘要】: 为了给量子力学建立新的数学模型,C.J.Mulvey在1986年研究非可换C~*-代数的谱理论时,首次提出用一种非可换的二元运算&来代替拓扑空间开集格中的交运算,并称这种数学结构为Quantale.1990年D.Yetter给出了Girard提出的作为理论计算机科学逻辑支持系统的线性逻辑与Quantale理论之间的密切关系,从此,Quantale理论的研究受到了国内外众多学者的关注.在短短的二十年中有关Quantale理论的大量新的观点及应用不断被揭示.本文一方面在这些成果的基础上运用Frame理论的研究思想对Quantale理论的一些代数性质和拓扑特征作了进一步的研究,从而丰富了Quantale理论的内容.另一方面,本文从范畴论的角度讨论了作为量子逻辑支持系统的Quantic格的内部结构和范畴性质,这在一定程度上推广了Quantale理论.本文的主要内容安排如下: 第一章预备知识.本章给出了与本文有关的格论、拓扑学、Quantale理论和范畴论方面的一些概念和结果. 第二章Quantale中的滤子.本章首先在双边Quantale中定义了滤子的概念,给出了Quantale中滤子的一系列等价刻画.研究了Quantale上的滤子空间的拓扑特征.得到了Quantale上的滤子空间满足T_0分离性的充要条件.其次,本章给出了Quantale中素滤子的定义,讨论了Quantale上的对偶素谱空间的拓扑性质.证明了“Dspec:Quant~(op)—→ComTop_(T_0)是函子”等一系列有趣的结论.最后,本章给出了Quantale上的模糊滤子的概念,系统地研究了Quantale中的滤子与模糊滤子之间的关系,找到了Quantale态射与模糊滤子之间的内在联系. 第三章Quantale连通性.本章把Frame理论中的连通和局部连通的定义推广到了右侧幂等Quantale中,研究了连通和局部连通Quantale的一系列性质,得到了Quantale连通的充要条件.证明了与Frame理论中有关连通性的经典命题相对应的结论在Quantale理论中仍然成立. 第四章Girard Quantale.本章首先研究了Girard Quantale中的内部结构,讨论了该结构中各种运算之问的关系,给出了Girard Quantale的若干等价刻画.其次,本章对Girard Quantale中的循环对偶元作了系统的研究,给出了GirardQuantale中循环对偶元不唯一的实例.得到了Girard Quantale中循环对偶元唯一的充分条件.证明了一个Girard Quantale中的循环对偶元之集与满足一定条件的一元算子之集是一一对应的. 第五章Quantic格范畴.Quantic格可以看成是Quantale与Prequantale的一种推广,它在量子逻辑的研究中有着重要的作用.本章首先讨论了Quantic格的内部结构,研究了子Quantic格和商Quantic格的若干性质.给出了Quantic格同余和Quantic格核映射的定义.证明了一个Quantic格上的全体核映射之集、全体同余关系之集和全体商对象之集是一一对应的.其次,本章从范畴论的角度研究了Quantic格范畴的若干性质.证明了QuaIltic格范畴有等子、余等子等结论.得到了Quantic格范畴中的极限结构,从而说明了Quantic格范畴是完备范畴.


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1 王顺钦;Quantic格与Quantale中若干问题的研究[D];陕西师范大学;2007年
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