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模糊拟阵中若干问题的研究

李尧龙  
【摘要】: 模糊拟阵是Goetschel与Voxman于1988年引入并开始研究的.与不同学科结合是拟阵理论研究的一个鲜明特征,这也推动着拟阵理论不断发展和壮大.模糊拟阵理论正是拟阵理论与模糊集理论的成功结合,对它的研究涉及到模糊图论、偏序集与格论、组合数学等诸多研究领域.本文首先研究模糊拟阵的公理系统及性质.因为到目前为止,除了作为定义的模糊独立集公理外,还没有与之等价的类似于一般拟阵理论的其他公理系统.所以,对模糊拟阵公理系统的研究,是对模糊拟阵理论的完善和补充.借助模糊相关关系,建立了基本模糊拟阵的闭包公理与闭集公理.通过对截片模糊拟阵结构的分析,讨论了模糊拟阵的模糊基的性质并且给出了模糊基的等价刻画,进而建立了模糊拟阵的模糊基公理,这为进一步研究模糊拟阵理论打下了坚实的基础.其次,本文研究模糊横贯理论.在承集为有限的模糊集族上引入了模糊横贯的概念,由于横贯理论最基本的问题是确定一个子集族有一个横贯的条件,所以本文讨论一个模糊子集族有模糊横贯与部分模糊横贯的条件.证明了一个模糊集族的全体部分模糊横贯构成一个模糊拟阵的模糊独立集族,讨论了承集为无限的模糊集族的模糊Hall定理与模糊Rado定理.以下分三个方面介绍本文的主要工作: 一、研究基本模糊拟阵的两个公理系统与模糊拟阵的一些性质.首先,讨论了模糊拟阵的几种运算,包括一般模糊集下的两种k—截短、限制与收缩,并且研究了模糊拟阵的直和.这些性质在某种条件下既保持了一般拟阵中相应概念的性质,又具有模糊拟阵中新的特点.其次,建立了基本模糊拟阵的闭包公理与闭集公理.在模糊相关的基础上,引入了模糊拟阵的闭包算子与模糊闭集的定义,研究了模糊相关性、模糊闭包算子与模糊闭集的性质,进而建立了基本模糊拟阵的闭包公理与闭集公理.最后,通过研究模糊极小圈的性质,在模糊拟阵中定义了一种新的连通性,这种连通性有一系列好的性质. 二、研究模糊拟阵的模糊基公理与模糊基的性质.首先,引入了截片模糊拟阵的概念,讨论了截片模糊拟阵的性质特别是模糊基的性质,给出了截片模糊拟阵基的构造并且得到了截片模糊拟阵基公理.其次,通过讨论模糊拟阵的模糊基与截片模糊拟阵的模糊基的关系,得到了模糊拟阵基的一些性质并给出了模糊拟阵基的等价刻画,研究了模糊拟阵基的交换性质.最后,利用截片模糊拟阵得到了闭正则模糊拟阵基的构造.在此基础上,建立了闭正则模糊拟阵的模糊基公理. 三、研究了模糊横贯理论.首先,给出了模糊横贯与部分模糊横贯的概念,研究了模糊Hall定理与模糊Rado定理,通过部分模糊横贯研究了模糊集族具有缺失的模糊Hall-Ore定理,并得到了模糊集族的模糊横贯指标,证明了部分模糊横贯的全体构成一个模糊拟阵的模糊独立集族.其次,研究了推广的模糊横贯理论及其性质.引入了一个模糊集族p—模糊横贯的概念并讨论了p—模糊横贯的一些性质,证明了一个模糊集族有p—模糊横贯且此p—模糊横贯为模糊独立集的充要条件,以及一个模糊集族存在有限个互不相交的部分模糊横贯的充要条件.最后,研究无限集上的模糊横贯理论.通过模糊Rado选择定律,研究了无限集上的模糊Hall定理与模糊Rado定理.


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