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两类非线性变分不等式的神经网络

毕红梅  
【摘要】: 变分不等式可看作为求解优化问题、平衡问题以及与它们相联系的问题的一致框架,并且广泛地出现在信号和图像处理、系统识别、滤波设计、自动控制、经济科学、运输科学、运筹学、非线性分析等领域.特别地,数学、物理和工程领域的许多问题都可以转化为它.在许多科学和工程技术领域中,往往要求实时求解变分不等式,由于计算时间依赖问题的规模和结构以及所采用的算法,传统数值方法并不能满足实时性要求.基于电路实现的人工智能神经网络是处理高维,稠密结构问题的一个可行的方法.由于内在的动态本质和电路实现的潜在能力,神经网络可以用集成电路等硬件等实现.因此,神经网络比传统优化算法能更快地求解优化问题,并且建立神经网络来实时求解变分不等式问题具有实际意义. 基于优化理论、射影理论,本文考虑了两类新的非线性变分不等式,分别提出了求解它们的神经网络,应用微分方程组的稳定性理论和LaSalle不变原理严格证明了这些网络的各种渐近行为,包括稳定性、收敛性和指数稳定性.用数值实例说明了这些网络的可行性. 全文分三部分.第一部分简单概述了变分不等式的意义及研究现状、射影理论、微分方程组的稳定性理论和LaSalle不变原理等基本理论. 第二部分讨论了如下一类非线性变分不等式问题:找向量((x~*)~T,(y~*)~T)~T∈K×K,使其中K是实Hilbert空间中的闭凸子集,T:K→H的映射,提出了求解它的一个神经网络模型:其中λ>0是设计参数.在映射弱强制的条件下,严格证明了该网络是Lyapunov稳定的,并且渐进收敛于原问题的一个精确解.此外,在适当的条件下证明了该模型的指数稳定性. 第三部分考虑了如下一类非线性隐式变分不等式问题:找向量x~*∈K,使〈T(x~*,x~*),x-x~*〉≥0,(?)x∈K,其中K是实Hilbert空间中的闭凸子集,T:K×K→H的映射.根据问题的结构特点,构造了求解它的神经网络,建立了网络模型的平衡点与原问题解之间的关系,并证明了网络模型的稳定性和收敛性.


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