矩形区域上具有非齐次Neumann数据的Laplace方程Cauchy问题的正则化方法研究

【摘要】：本文考虑矩形区域Ω={(x,y)｜0xπ,0yT｝上的Laplace方程Cauchy问题,即利用边界y=0处的Cauchy数据来反演未知函数在Ω上的值。这类问题是经典的严重不适定问题,即问题的解不连续依赖于定解数据,且越靠近边界y=T处其不适定性越强。因此,给出有效的正则化方法来恢复解的稳定性不仅具有广泛的实际应用价值而且有重要的理论研究意义。本文重点是求解具有非齐次Neumann数据的Laplace方程Cauchy问题并建立两种正则化方法—截断正则化方法和修正的Tikhonov正则化方法。对于截断正则化方法,我们考虑了两种不同的先验界,给出了正则化参数的先验选取规则,并分别得到了精确解和正则逼近解之间的误差估计；对于修正的Tikhonov正则化方法我们给出了先验和后验两种正则化参数选取规则并分别建立了精确解和正则逼近解之间的误差估计。对两种方法我们都给出了数值例子,数值实验表明这两种正则化方法都是有效可行的。