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双稳型反应扩散方程的非平面行波解

盛伟杰  
【摘要】:非线性抛物型方程理论是现代数学研究的重要内容之一.反应扩散方程作为一类典型的非线性抛物型方程,可以用来解释物理学中的热传导、化学反应中的物质浓度变化、生物学中的物种入侵过程等众多学科中发现的自然现象.自从1937年以来,反应扩散方程平面行波解得到广泛的研究,结果相对比较完善.但是,考虑到来自物理、化学、生态等领域的许多实际问题都是高维的,因此对高维行波解(非平面行波解)的研究受到许多学者的关注.与平面行波解相比,非平面行波解的波形变得更复杂,而且在高维空间中会出现不同类型的新型行波解.因此对非平面行波解的研究以及对其定性性质的刻画具有很大的挑战和实际意义.另一方面,注意到现实世界中某些环境是周期变化的,例如:自然界中的季节更替现象,因此对非自治的反应扩散方程,特别地,对时间周期的反应扩散方程建立行波解理论也具有重要的实际意义.本篇论文主要研究自治反应扩散方程非平面行波解的稳定性及时间周期反应扩散方程的非平面行波解.这里需要指出的是,非平面行波解的水平集不再是平行的超平面,这与平面行波解形成鲜明的对比.一个典型的例子是二维V形行波解的水平集为V形曲线. 本文首先研究了二维V形行波解的全局指数渐近稳定性.通过建立一个相应初值问题解的比较定理,并利用挤压技术结合比较原理,我们得到了二维V形行波解是指数渐近稳定的. 其次,我们研究了二维V形行波解在高维空间中的稳定性.利用比较原理结合上下解方法证明了当初始扰动在无穷远处衰减时二维V形行波解是渐近稳定的.特别地,如果初始扰动是平面行波解的一个L1∩L∞扰动,那么二维V形行波解是代数稳定的,且在一定意义下,这个收敛速率是最优的.进一步,我们证明了二维V形行波解对一般的有界扰动是不稳定的.从动力系统的角度看,初值问题的解集在Lloc∞拓扑意义下至少包含了两个二维V形行波解的平移. 最后,本文研究了时间周期反应扩散方程的棱锥形行波解.通过构造一个光滑的棱锥和一系列时间周期的上下解,得到了三维时间周期棱锥形行波解的存在性.利用已知的二维时间周期V形行波解的稳定性结果以及通过在棱锥的边界上找到 一个二维V形行波解,还证明了三维时间周期棱锥形行波解是渐近稳定的.最后,我们把三维时间周期棱锥形行波解的存在性结果推广到高维空间.


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