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分数阶偏微分方程几类反问题的正则化方法

郑光辉  
【摘要】:在本文中,我们主要考虑了分数阶偏微分方程中的儿类反问题,例如时间分数阶逆对流扩散问题(TFIADP),时间分数阶对流扩散Cauchy问题(TFADCP),时间分数阶扩散Cauchy问题(TFDCP),时间分数阶逆扩散问题(TFIDP)以及空间分数阶逆时扩散问题(SFBDP)随后,还考虑了多层区域上抛物型系统在线性和非线性接触条件下的边界识别问题(BIP),以及一般抛物方程中同时反演源项和初值的问题. 分数阶偏微分方程近些年来大量地应用于物理,化学,生物,金融,信号处理,系统识别以及控制理论等等方面.关于分数阶偏微分方程正问题,无论是在基础理论,还是在数值计算,都已有许多的研究.然而对于相关反问题的研究却是很少见.本文提出了一种新的卷积型正则化方法,并将其应用于时间分数阶逆对流扩散问题(TFIADP),时间分数阶扩散Cauchy问题(TFDCP),时间分数阶逆扩散问题(TFIDP)和空间分数阶逆时扩散问题(SFBDP),而且得到了方法的收敛性估计.另外,本文还利用谱正则化方法研究了时间分数阶逆对流扩散问题(TFIADP),时间分数阶对流扩散Cauchy问题(TFADCP)及空间分数阶逆时扩散问题(SFBDP),并给出了收敛性估计.最后,本文针对这两种正则化方法进行了相应的数值试验,且很好地说明了方法的有效性. 边界识别问题(BIP)是偏微分方程反问题研究领域中一类非常重要的问题,它具有极其广泛的应用背景.由于这类反问题兼具不适定性和非线性,因此它也是极具挑战性的一类反问题.本文针对多层区域上抛物型系统在线性和非线性接触条件下的边界识别问题给出了相应的条件稳定性和唯一性. 在给定一些测量数据的前提下,同时反演两个,甚至于多个目标的问题近来是反问题领域的一个热点.这类问题由于需要反演多个目标,固然比通常反演单个目标的反问题要困难一些.本文研究了一般抛物方程中同时反演源项和初值的问题,给出了相应的条件稳定性,并用变分方法进行处理,得到了极小化泛函极小子的存在唯一性,稳定性及收敛性估计.


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