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图的积和多项式及其相关问题

李巍  
【摘要】:图的邻接矩阵的特征矩阵的积和式称为图的积和多项式(permanental polyno-mial),1981年Kasum等首次研究表明图的积和多项式与分子的结构密切相关.之后,Cash计算了富勒烯的同分异构体的积和多项式及其根,发现在有n个顶点的同分异构体中,每个同分异构体的n/2对根中有10对是常值,其余(n/2-10)对根随同分异构体的结构变化而不同,从而指出图的积和多项式反映了分子的结构信息.众所周知,行列式的计算有很多有效的算法,然而积和式的计算是#P-完全问题.对于一个二部图,其积和多项式的常数项等于该图的完美匹配个数的平方.若一个图G是Pfaffian的,对其进行Pfaffian定向可将其邻接矩阵中的某些1变成-1得到矩阵r,那么G的完美匹配计数就可通过计算r的行列式得到.基于此,晏卫根和张福基证明了如果一个二部图G不包含K2,3的偶剖分,那么存在G的定向e使得G的积和多项式等于G的斜邻接矩阵的特征多项式. 本文首先考虑了都有哪些图的积和多项式可以通过其定向图的斜邻接矩阵的特征多项式来计算,刻画了这些图的结构并给出了定向方法.然后计算了路、圈等基本图类的积和多项式,并给出了六角形链等化学图的积和多项式的确切表达式.更一般地,我们还研究了矩阵的积和多项式,主要刻画了可以通过符号矩阵的特征多项式来计算其积和多项式的矩阵.最后,我们讨论了曲面上六角系统的的积和多项式的常数项,即其完美匹配个数的平方,通过定向图的方法,给出了完美匹配计数的具体表达式.全文共分为如下五章. 第一章介绍了一些基本定义和符号,阐述了积和多项式的研究背景及进展,并列举了本文的主要研究结果. 在第二章中,我们首先得到了一个充分必要条件,即一个二部图的积和多项式等于其定向图的斜邻接矩阵的特征多项式当且仅当这个二部图不包含K2,3偶剖分.进一步证明了一个2-连通的不包含K2,3的偶剖分的二部图等价于可平面1-圈共振图.从而得到一个2连通的不包含K2,3的偶剖分的二部图的任意Pfaffian定向中的任意圈都是奇定向的.基于此,给出了利用Pfaffian定向来计算此类图的积和多项式的方法. 第三章计算了特殊图类的积和多项式的计算.利用Pfaffian定向的思想,给出了路、圈等基本图类的积和多项式的确切表达式.对于六角系统,基于递归的思想,以5阶矩阵的连乘积的形式,给出了六角形链及一类有内点的六角系统的积和多项式.同时还得到了广义多边形链的积和多项式的表达式. 第四章的目标是研究哪些矩阵的积和多项式可以通过其符号矩阵的特征多项式来计算.对一个m×n阶{0,1}矩阵A(m≤n),如果存在矩阵B(B是将A中的某些1变成-1而得到的)使得对于A的任意m阶的子矩阵A’,均有B中相应的m阶的子矩阵B’使得A’的积和多项式等于B’的特征多项式,则称矩阵A是完全可转换的.通过对{0,1}-方阵A定义二部图GA*,我们证明了A是完全可转换的当且仅当二部图GA*是Pfaffian的,进一步我们将该结果推广到了m×n阶{0,1}-矩阵,并且利用这一结果也可以得到第二章中的充分必要条件.作为应用,我们给出了两类完全可转换矩阵的积和多项式的具体表达式. 在第五章中,我们研究了Klein瓶、Mobius带及柱面上的六角系统的完美匹配计数(物理上称为密排二聚体计数).通过对这些六角系统进行Pfaffian定向或交叉定向,并计算定向图的斜邻接矩阵的行列式,得到了Klein瓶、Mobius带及柱面上的六角系统的完美匹配计数的具体表达式.


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