空间分数阶对流扩散方程的多项式谱配置方法

【摘要】：分数阶微积分与分数阶微分方程被广泛地应用于众多工程和自然科学领域,包括物理、化学、生物、力学工程、信号处理、系统识别、控制理论、金融等。到目前为止,虽然有一些解析求解方法,如Laplace变换、Fourier变换和Mellin变换,被用于求解分数阶方程的解析解,但大部分分数阶微分方程的解析求解依然很困难,这是因为分数阶微分算子是全局性算子且它的对偶算子不是其负算子,因此数值求解就显得非常重要。求解分数阶微分方程的困难来自于分数阶导数的非局部性,而谱方法作为一种全局性的数值方法,就自然成为高精度求解分数阶微分方程的合适数值方法之一,此外谱配置方法对于处理非线性问题具有很大的优势。 本文主要讨论利用谱配置方法数值求解非局部问题：稳态分数阶对流扩散方程、一维空间分数阶对流扩散方程、二维线性与非线性空间分数阶对流扩散方程。在第二章,我们推导出了Riemann-Liouville分数阶积分、Riemann-Liouville分数阶导数(?)ⅡCaputo分数阶导数在区间[a,b]内的配置点上的微分矩阵,这使得利用谱配置方法来求解分数阶积分或微分方程成为可能。接着在第三章中建立了一维和二维稳态分数阶对流扩散方程的谱配置数值格式,并用数值例子来检验数值方法的有效性和谱收敛性。第四章,我们考虑空间分数阶对流扩散方程的多项式谱配置方法,给出了一些具有不同边界条件的例子来验证谱配置格式的有效性。附录A中分析了第四章讨论的一维空间分数阶对流扩散方程的半离散和完全离散格式关于时间方向的稳定性。