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几类非局部p(x)-Laplace方程解的存在性与多解性

郭二林  
【摘要】:本篇博士学位论文主要研究几类带有非局部项的变指数椭圆型偏微分方程。 首先,对于下列带有奇异项的非局部p(x)一Laplace方程我们考虑了f(x,u)分别等于a(x)|u|q(x)-2u和λ1a1(x)g1(x,u)+λ2a2(x)g2(x,u)的情形,其中M:(0,+∞)→(0,+∞)是连续且有界的,a∈Lr(Ω),a1∈Lr1(Ω), a2∈Lr2(Ω),a(x),a1(x),a1(x)均大于零,λ1,λ2是常数,此处允许λ1,λ2变号。通过运用加权的变指数Lebesgue空间理论、山路引理、喷泉定理、对偶喷泉定理和变分方法,在非线性项的奇异性假设的条件下,我们分别得到此问题存在非平凡的极小解,山路型解以及无穷多解等结论。 其次,我们考虑了带有非线性Nuemann边界条件的非局部p(x)-Laplace方程,其中,b:R→R是连续的,当f(x,u),g(x,u)不具有奇异性时,通过运用边界迹嵌入定理、山路引理、喷泉定理和变分方法,我们得到了上述问题解释的存在性与多重性结论,应用截断函数的方法得到了问题非负解的存在性,在方程右端不带有非局部项时,应用喷泉定理和对偶的喷泉定理,得到了问题无穷多解的存在性,同时也给出了几类特殊形式的方程存在无穷多解的结论。当f(x,u),g(x,u)具有某种奇异性时,我们也得到了解的存在性与多解性等结论。 最后,我们考虑了全空间上的非局部p(x)-Laplace方程,当f(x,u)不具有奇异性时,我们应用加权函数的方法、山路引理和直接变分方法,得到了上述问题解的存在性结论,应用截断函数的方法得到了问题非负解的存在性,应用亏格理论得到了问题无穷多解的结论,并且,应用喷泉定理和对偶喷泉定理,证明了当f(x,u)是具有凹凸性的非线性项时问题无穷多解的存在性。当f(x,u),g(x,u)具有某种奇异性时,我们也得到了解的存在性与多解性等结论。 本篇论文的创新点和主要贡献是:到目前为止:带有非局部p(x)-Laplace算子方程解的存在性的结论还比较少,我们首次考虑了奇异项的非局部p(x)-Laplace方程Dirichlet边值问题,得到了此类问题解的存在性与多解性等结论;首次考虑了非局部p(x)-Laplace方程非线性Nuemann边值问题以及方程和边界项都带有奇异项的此类问题,解决了解的存在性与多解性等问题;首次考虑了全空间上非局部p(x)-Laplace方程以及带有奇异项的此类问题,解决了解的存存性与多解性等问题。


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