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几类分数阶微分方程解的研究

张全国  
【摘要】:本文主要考虑了分数阶微分方程的若干问题.首先研究了定义在全空间RN上空间分数阶方程解的存在性.其次讨论了抽象的时间分数阶微分方程初值问题的经典解和适度解的若干性质及相关关系.最后分析了一类具休的时间分数阶方程(组)Cauchy问题解的全局存在性和爆破性. 第一章首先介绍了分数阶微积分产生的背景和应用,其次介绍了本文的主要工作.最后,列出了分数阶导数、积分的定义和主要的性质,以及一些特殊函数的基本性质. 第二章考虑了两类非局部方程定解问题解的存在性.第一节分别在Borel概率测度M对称和非对称情形下,通过应用变分法和迭代技巧,研究了定义在全空间RN上空间分数阶方程解的存在性.第二节,分别讨论了有界区域上带一个和两个参数的Kirchhoff型方程O-Dirichlet边界条件下正解的存在性.借助于山路定理和迭代方法:获得了当参数比较小时,问题正解的存在性. 第三章研究了定义在Banach空间上的抽象的时间分数阶微分方程初值问题.首先对于线性问题0CDtαu-Au=f(t),t0,u(0)=u0,假定A生成—C0半群或解析半群{T(t)},从而定义算子族{Pn(t)}和{sα(t)},分析了它们的一些基本性质.在此基础上详细给出了此问题的适度解和经典解的关系,以及适度解的正则性结果.其次对于半线性问题0CDtαu-Au=f(t),t0,u(0)=u0,在A生成解析半群{T(t)}的假设下,在分数幂空间Xs中给出了经典解与适度解的定义及相互关系,并研究了解的存在性、唯一性,以及解对初值和参数的连续依赖性.这些讨论在下一章研究具体的时间分数阶方程时起到了重要的作用. 第四章考虑了一类具体的时间分数阶方程和方程组Cauchy问题解的全局存在性和爆破性.在空间G0(RN)上利用第三章抽象的时间分数阶方程的一些性质,应用检验函数方法和压缩映像原理讨论了时间分数阶扩散方程初值问题解的全局存在性和爆破性,并确定了Fujita临界指数.进一步研究了时空分数阶方程和时间分数阶方程组Cauchy问题解的全局存在性和爆破性.同样Fujita(?)临界指数被确定.


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