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若干图的拟Laplace能量、关联能量及Kirchhoff指标

王维忠  
【摘要】:作为代数图论中的一个重要分支,图的谱理论主要研究图的组合性质和与图相关的矩阵(例如邻接矩阵、Laplace矩阵、关联矩阵等)的代数性质之间的联系.它在物理、量子化学、信息科学以及通讯网络等领域中有着广泛而重要的应用. 本文主要研究图的拟Laplace能量、图的关联能量、以及若干图的Kirch-hoff指标,得到了一些新的有意义的结果.全文共分五章,具体内容如下: 第一章首先介绍了本文用到的一些基本概念、术语和记号,其次,介绍了图的能量的研究背景和研究进展,最后介绍了本文的主要结果. 第二章首先讨论一般图的拟Laplace(?)能量的估计,得到了一个新的下界.然后,对正则图的线图、细分图、全图以及半正则图的线图,我们利用顶点数和正则度(或半正则度)给出了它们的拟Laplace能量的上、下界,并刻画了可达界的极值图. 第三章主要刻画了一些特殊图类LEL的渐近性质.具体来讲,对正则图G,证明了其迭代线图拟Laplace(?)能量的渐近值与G的结构无关;对具有环面边界、柱面边界及自由边界的方格子图、具有环面边界的六角形格子图以及具有环面边界的三角形格子图,证明它们的LEL的增长率仅与顶点数相关. 第四章主要给出图的关联能量的估计.首先主要讨论了一般图的关联能量的估计,得到了一个新的下界.然后,对正则图的全图以及半正则图的线图,建立了它们的无号Laplace多项式与“原图”的无号Laplace多项式之间的联系;并在此基础上利用顶点数和正则度(或半正则度)给出了它们的关联能量的上、下界,并刻画了可达界的极值图. 第五章主要研究了若干图的Kirchhoff指标.首先对正则图的细分图、全图以及半正则图的线图,利用顶点数和正则度(或半正则度)给出了它们的Kirchhoff指标的上、下界,并刻画了可达界的极值图;同时给出了这些图的Kirchhoff指标的公式.其次,对正则图G,建立了R(G)和Q(G)的Laplace多项式与“原图”G的Laplace多项式之间的联系,并在此基础上得到了R(G)和Q(G)的Kirchhoff指标的公式,这里R(G)和Q(G)为图算子R和Q作用在正则图G上所得到的图.


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