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时间分数阶扩散方程的两类不适定问题研究

王俊刚  
【摘要】:本文考虑了时间分数阶扩散方程的两类不适定问题:包括时间分数阶扩散方程反向问题和时间分数阶扩散方程反源问题. 扩散方程反向问题是经典的不适定问题.本文针对n维空间一般有界区域上的分数阶扩散方程反初值问题,首先从理论上分析了该问题的不适定性,给出阶最优的误差估计,然后在此最优性框架指导下,分别运用Tikhonov正则化方法,简化Tikhonov正则化方法,拟边界值正则化方法,改进的拟边界方法和迭代方法来进行求解.对这些正则化方法,分别给出在先验正则化参数选取规则和后验正则化参数选取规则下的收敛性估计.对一维问题,用有限差分法来进行数值模拟,对二维问题,通过对时间进行差分,对空间使用有限元离散来进行数值模拟. 对一般有界区域的分数阶扩散方程反源问题,分别运用Tikhonov正则化方法,简化Tikhonov正则化方法和拟逆正则化方法来进行求解,并分别给出在先验正则化参数选取规则和后验正则化参数选取规下的收敛性分析.对一维可题用有限差分法来进行数值模拟,对二维问题,结合差分和有限元方法来进行数值模拟. 其中,改进的拟边界方法和迭代方法都是很新颖有趣的方法.而关于拟边界值正则化方法和拟逆正则化方法的后验参数选取规则都是第一次提出.这些方法和结论都可以借鉴到别的问题当中,进行更深入和广泛的研究. 本文的数值结果与理论结果是完全相符的,这些数值结果充分地表明所给正则化方法能够很好地求解这些不适定间题.


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