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两类分数阶微分方程定解问题解的研究

李亚宁  
【摘要】:分数阶微积分经过三个多世纪的发展,其应用领域越来越广泛,与经典的微积分相比,它可以更好地描述生物、物理、化学、水文、金融等领域中具有记忆和遗传性质的过程,这些过程在数学上的表现一般都是分数阶微分方程.但由于分数阶微分算子的奇异性和非局部性质,导致了分数阶微分方程在数学理论上的研究困难.因此,对分数阶微分方程的研究具有重要的理论和实际意义.本文研究抽象时间分数阶Cauchy司题解的性质和一类分数阶微分方程边值问题解的存在性. 本文首先考虑了阶数在1到2之间的带有Caputo时间分数阶导数的抽象发展方程Cauchy问题.基于扇形算子、Mittag-Le用er函数和曲线积分定义了一族有界线性算子,并分析了该族算子的一些性质.在此基础上讨论了线性非齐次抽象Cauchy问题适度解和古典解的存在性,并考虑了适度解的正则性.同时得到了半线性问题古典解的存在的充分条件. 其次讨论了分数阶预解式的subordination原理,运用该原理得到不同阶数的分数阶微分方程解之间的关系.并说明一个扇形算子可以决定一个解析分数阶预解式,同时得到分数幂算子也可以生成解析分数阶预解式.还利用分数阶预解式的性质讨论了阶数在1到2之间的带有Riemann-Liouville导数的时间分数阶抽象发展方程Cauchy问题,并研究了其适度解的正则性. 然后给出了β次积分α预解算子函数((α,β)-ROF)满足一个泛函方程,该等式推广了积分半群的性质.并讨论了非齐次分数阶Cauchv问题,当其系数算子生成(α,β)-ROF Sα,β(t)时,得到了该方程的适度解与用Sα,β(t)定义的一个函数之间的关系.还证明了另一类Cauchy司题其系数算子A生成指数有界的(α,β)-ROF当且仅当该问题有一个指数有界的古典vx且Avx∈L1loc(R+,X). 最后运用变分法研究了一类含有参数的分数阶微分方程边值问题解的存在性.利用Riesz.Schauder理论得到其对应的特征值问题有一列递增的、正的实特征值,并给出其第一特征值的极小极大刻画.随后,在对非线性项作不同假设条件下,得到该分数阶微分方程边值问题当参数在不同区间时,一个、两个和多个解的存在的充分条件.


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