收藏本站
收藏 | 手机打开
二维码
手机客户端打开本文

分数阶微分方程的高阶算法及理论分析

陈明华  
【摘要】:近年来,分数阶微分方程被广泛的应用于各科学领域:例如,力学(粘弹性和粘塑性理论)、生物化学(聚合物和蛋白质模型)、电气工程(超声波的传播)、医学(在机械负载下人体组织模型)等.又由于分数阶算子的非局部性质,获得分数阶微分方程的精确解变得更加的困难(有时甚至是不可能的),因此怎样高效的求解分数阶微分方程的数值算法成为一个紧迫的课题.本文由下述五章组成:第一章,简要回顾了分数阶算子的发展脉络及在不同学科领域的广泛应用.第二章,由于分数阶算子的非局部性质,分数阶导数的高阶离散格式相比一阶离散格式扮演着更加重要的作用.其显著的特征是:在保持相同的计算量条件下,前者极大的提高了算法的精度.本章的核心是:建立空间分数阶导数的一类四阶精度逼近格式,我们称之为加权和位移的Lubich差分(WSLD)算子.然后将其应用于求解一维和二维变系数的空间分数阶扩散方程,并给出了差分格式的无条件稳定性及收敛性证明,数值结果表明全局截断误差为O(τ2+h4).第三章,我们讨论分数阶物质积分和分数阶物质导数的性质,其中,Ds=??x+σ=D+σ,σ为常数或者与x无关的函数,如σ(y);m是不小于μ的最小整数.利用Fourier变换方法和分数阶线性多步法探讨分数阶物质微积分的性质并导出其离散格式.给出了差分格式的收敛性证明及数值例子表明全局截断误差为O(hp)(p=1,2,3,4,5).第四章,Feynman-Kac方程是用于描述扩散现象的泛函分布规律的一类偏微分方程.具有概率密度函数的布朗泛函满足Feynman-Kac方程,其对应于虚时间方向的Schr¨odinger方程.在研究非布朗泛函或者反常扩散现象时,导出了分数阶Feynman-Kac方程,其中引入了分数阶物质导数的定义.基于对分数阶物质导数离散性质(第三章)的分析,本章关注于建立向前和向后的分数阶Feynman-Kac方程的数值算法;由于分数阶物质导数是非局部的时空耦合的算子,相比于经典的分数阶导数,将带来新的挑战.我们用两种方法(有限差分和有限元法)离散空间导数.对向后的分数阶Feynman-Kac方程,给出了时间方向为一阶精度数值格式的稳定性和收敛性证明.对提供的所有算法,包括向前和向后的分数阶Feynman-Kac方程的一阶和高阶格式,数值例子表明了算法的有效性.第五章,具有时间分数阶物质导数和空间分数阶导数的方程描述的是L′evy飞行的泛函分布规律;基于在无界区域的连续时间随机行走模型导出的该方程,它的L′evy飞行的二阶矩是发散的.然而,在更多的实际问题中,物理区域是有界的及有关的观察是有限矩的.因此改进的方式是对L′evy飞行的L′evy测度作截断,它对应于回火的(tempered)空间分数阶导数.本章主要关注于建立改良方程的高阶算法,即,具有时间分数阶物质导数和空间分数阶回火导数的方程.更具体的说,本章的工作如下:1.在复空间中,证明了时间方向为一阶精度,空间方向为二阶精度算法的稳定性及收敛性,这些证明是必要的,因为我们还需要对所求方程的泛函分布作逆Fourier变换;2.我们进一步讨论了时间和空间方向的高精度格式,并构造了对分数阶的非齐次边值/初值条件的数值格式仍然保持高阶精度的处理技术;3.结合快速多重网格法求解具有Toeplitz矩阵结构的代数系统;4.对所求方程的数值解作逆Fourier变换并模拟了物理系统,数值结果进一步验证了算法的有效性.


知网文化
【相似文献】
中国期刊全文数据库 前20条
1 刘勇;谢勇;;分数阶FitzHugh-Nagumo模型神经元的动力学特性及其同步[J];物理学报;2010年03期
2 刘荣花;;分数阶积分和微分函数的图像k维数研究[J];中国校外教育;2010年14期
3 马靖杰;;空间分数阶Edwards-Wilkinson方程的数值研究[J];山东大学学报(理学版);2012年09期
4 刘荣花;;分数阶积分和微分函数的图像k维数研究[J];中国校外教育;2010年S1期
5 辛宝贵;马军海;陈通;;分数阶双卷混沌系统的复杂性演化仿真研究[J];陕西科技大学学报(自然科学版);2011年02期
6 王妍;;多涡旋混沌同步和分数阶混沌同步[J];系统科学与数学;2011年12期
7 李宝凤;;应用Bernstein多项式求解一类分数阶微分方程[J];唐山师范学院学报;2014年02期
8 苏婷;董胜伟;孙秀燕;贾利新;;分数阶余弦和正弦变换的多样性[J];河南教育学院学报(自然科学版);2008年04期
9 张亚鹏;高峰;;分数阶粘弹性积分本构模型[J];济南大学学报(自然科学版);2012年01期
10 黄丽莲;齐雪;;基于自适应滑模控制的不同维分数阶混沌系统的同步[J];物理学报;2013年08期
11 王斯雷;;关于“关于分数阶积分与导数的性质”的一点注记[J];数学进展;1964年03期
12 沈学举;单透镜实现非精确分数阶付里叶变换[J];光电子·激光;1999年03期
13 周彦男;陈运平;陈佼佼;;分数阶Poynting-Thomson流变模型研究[J];西南科技大学学报;2013年01期
14 程烨;寇春海;;分数阶中立型泛函微分方程解的存在性与唯一性[J];东华大学学报(自然科学版);2013年06期
15 王询;;分数阶离散卡尔曼滤波[J];乐山师范学院学报;2014年05期
16 段俊生,徐明瑜;瞬时点源分数阶超常扩散的浓度分布[J];应用数学和力学;2003年11期
17 卢旋珠,刘发旺;时间分数阶扩散-反应方程[J];高等学校计算数学学报;2005年03期
18 章红梅;刘发旺;;时间分数阶电报方程的一种解技巧[J];厦门大学学报(自然科学版);2007年01期
19 刘甲国;;高阶的分数阶的粘弹性材料本构模型的复模量与复柔量[J];山东大学学报(理学版);2008年04期
20 翟汝坤;蒋晓芸;;复杂人体组织传热的时间分数阶模型及其解[J];山东大学学报(理学版);2012年06期
中国重要会议论文全文数据库 前10条
1 李西成;;经皮吸收的分数阶药物动力学模型[A];中国力学学会学术大会'2009论文摘要集[C];2009年
2 谢勇;;分数阶模型神经元的动力学行为及其同步[A];第四届全国动力学与控制青年学者研讨会论文摘要集[C];2010年
3 张硕;于永光;王亚;;带有时滞和随机扰动的不确定分数阶混沌系统准同步[A];中国力学大会——2013论文摘要集[C];2013年
4 李常品;;分数阶动力学的若干关键问题及研究进展[A];中国力学大会——2013论文摘要集[C];2013年
5 李常品;;分数阶动力学简介[A];第三届海峡两岸动力学、振动与控制学术会议论文摘要集[C];2013年
6 蒋晓芸;徐明瑜;;时间依靠分数阶Schrdinger方程中的可动边界问题[A];中国力学学会学术大会'2009论文摘要集[C];2009年
7 王花;;分数阶混沌系统的同步在图像加密中的应用[A];第二届全国随机动力学学术会议摘要集与会议议程[C];2013年
8 王在华;;分数阶动力系统的若干问题[A];第三届全国动力学与控制青年学者研讨会论文摘要集[C];2009年
9 张硕;于永光;王莎;;带有时滞和随机扰动的分数阶混沌系统同步[A];第十四届全国非线性振动暨第十一届全国非线性动力学和运动稳定性学术会议摘要集与会议议程[C];2013年
10 李西成;;一个具有糊状区的分数阶可动边界问题的相似解研究[A];中国力学大会——2013论文摘要集[C];2013年
中国知网广告投放
 快捷付款方式  订购知网充值卡  订购热线  帮助中心
  • 400-819-9993
  • 010-62982499
  • 010-62783978