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无界域上无穷维动力系统解的长时间行为的研究

杨美华  
【摘要】:在这篇博士学位论文中,我们主要考虑无界域上的无穷维耗散动力系统的解的长时间行为。在数学框架的设置上,为了把一些特殊而重要的解(如行波解、常数解等)容纳到我们的考虑中,类似于Kato[49],Mielke[67],Mielke Schneider[68],Feireisl[37],Zelik[93,95],Chloewa Dlotko [16]以及Arrieta,Rodriguez-Bernal,Cholewa Dlotko[3]等,我们选择局部一致空间(locally uniform spaces)作为相空间。全局吸引子是一个用以描述无穷维动力系统解的长时间行为的合适的概念。针对局部一致空间的特性,我们先给出局部一致空间中全局吸引子的适当定义,进而针对全局吸引子存在的关键性条件—渐近紧性或ω-极限紧性的验证,我们给出了一些在局部一致空间中判定渐近紧性的新方法(或框架),并将它们运用到具体的无穷维动力系统中,取得了一系列新的深刻的结果。 理论框架上,在第二章中,我们首先给出局部一致空间的一些基本性质的刻画(这些性质本身对于了解局部一致空间也是很有意义的),然后在此基础上建立了一种在局部一致空间中验证渐近紧性的方法(或框架)。在第三章中,针对于局部一致空间的特性,我们给出局部一致空间中的全局吸引子的适当定义,并建立了相应的存在性判定定理。 作为具体的应用,我们在第四章考虑带临界Sobolev增长指数非线性项的强耗散半线性波方程的全局适定性,以及它所对应的解半群的全局吸引子的存在性。我们首先运用在第二章中给出的局部一致空间的性质得到渐近先验估计,然后利用截断函数的技巧得到解半群在(H_(lu)~1(R~N)×L_(lu)~2(R~N),H_ρ~1(R~N)×L_ρ~2(R~N))中的渐近紧性,进而运用第三章中给出的抽象定理得到全局吸引子的存在性。在第五章考虑了带临界Sobolev增长指数非线性项的非经典扩散方程的全局适定性以及它所对应的解半群的全局吸引子的存在性。我们通过渐近先验估计验证了全局吸引子存在的关键性条件—解半群在(H_(lu)~1(R~N),H_ρ~1(R~N))中的渐近紧性.在第六章我们考虑带临界Sobolev增长指数非线性项的弱耗散半线性波方程的全局吸引子的存在性。受到[25,50]等文献中一些结果的启发,我们给出一个特别适用于验证弱耗散半线性波方程的解半群的渐近紧性的框架(或方法)并应用到我们的问题。这些结果大大改进了Feireisl[37],Zelik[93,95]以及Chloewa Dlotko[20,21]等中的相应结果。


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