非线性波动与复杂网络的研究

【摘要】：本论文包括两个部分:第一部分是非线性偏微分方程的解析求解;第二部分是复杂网络的研究讨论。 非线性方程主要描述非线性现象和复杂系统问题,方程的解对理解非线性相互作用和复杂系统的行为有着重要的帮助。由于非线性方程的解空间非常复杂,没有统一的非线性方程求解方法和理论,迫使人们发展了许多方法求解非线性方程的特解。 在本文的第一部分中,我们主要讨论两种求解非线性方程的方法:齐次平衡法和Jacobi椭圆函数展开法(也称F-展开法)。首先,简单地介绍齐次平衡法求解过程及以Variant Boussinesq方程为例很容易地求得方程的孤波解。我们主要研究拟解函数φ=φ(X,t)是其它特殊形式的解,可以求得非线性方程的多孤波解、周期解、有理函数解、虚函数解、奇异解和自相似解等。同时,在求解过程中可以得到方程的Backlund非线性变换。在第二种方法中,首先简要地介绍了椭圆函数的基本展开法和运用,我们在此基础上对椭圆函数展开法进行了几种新的推广。第一种推广为,将方程解的展开式扩展到负指数,可以求得方程的负指数的椭圆函数解。这种推广所求出的解包括了基本的椭圆函数展开法所求出的解。第二种推广为,将方程解的展开式扩展有包含分数指数形式(1+δf~2(ξ))~(1/2)的椭圆函数解,可以求得方程的分数指数形式的解。第三种和第四种推广为,直接将两种不同椭圆函数耦合形式来展开求方程的解,这样所求出方程的解包括了两种椭圆函数的耦合形式。通过这几种推广的椭圆函数展开法,我们求得非线性方程的很多新解。 自然界和人类社会中有着许多非常复杂相互作用的系统,例如神经网络、新陈代谢、Internet网、交通网络、人际关系等。任何一个有着相互作用的复杂系统,都可以抽象为一个复杂网络。 在本文的第二部分中,首先,介绍复杂性的来源和复杂网络的一些基本概念,和几种常见的复杂网络模型。其次,我们主要用复杂网络手段来描述中国铁路客运系统。我们把中国铁路客运系统抽象为一个复杂网络:以站点作为“节点”,